कई अपराधों के अस्तित्व को साबित करने के लिए लेम्मा

Question

यह समस्या गेरस्टेन के परिचय से लेकर गणितीय संरचनाओं और प्रमाणों तक है । समस्या का एक हिस्सा है कि एक विशेष प्रकार का प्रमाण देना है कि इसमें बहुत सारे अपराध हैं। मैं भाग ए, आवश्यक लेम्मा से संबंधित हूं। भाग एक कहा गया है:

दिखाओ कि अगर $n \ge 3$ फिर एक अभाज्य संख्या p संतोषजनक है $n \lt p \le n!-1$।

एक संकेत है:

"के एक प्रमुख विभाजक पी पर विचार करें $(n-1)!-1$। पी का अस्तित्व क्यों है? "

यहाँ एक समाधान पर मेरा प्रयास है:

p मौजूद है क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक में एक प्रधान भाजक होता है। K- वें प्रधान के लिए$p_k$, परिभाषित करें

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ कहाँ पे $p_i$ मैं प्रधानमंत्री हूं

प्रतीक p एक प्रमुख भाजक को दर्शाता है $(n-1)!-1$। मेरा अनुमान है कि$p!!+1$प्रमुख है। हमें केवल यह दिखाने की आवश्यकता है कि यह आवश्यक सीमा में है।

यह उचित है (हालांकि मैंने इसे साबित नहीं किया है) कि ऐसा माना जाए $p!!+1 > n$।

$p!!$n पूर्णांक से कम का उत्पाद है, जिनमें से प्रत्येक p से कम या बराबर है, जो n के बराबर या उससे अधिक है। इसलिए$p!!+1\le n!-1$ और कथित प्रमाण, जैसे यह है, पूरा होगा।

क्या इस तर्क की कोई योग्यता है? यदि नहीं, तो प्रस्ताव का प्रदर्शन कैसे किया जा सकता है?

Answer 1

$13!!+1=30031=59\cdot509$ प्रधान नहीं है, इसलिए तर्क काम नहीं कर सकता है।

हालाँकि, यह निश्चित रूप से सच है $n!-1$ एक प्रमुख भाजक है $p$, और स्पष्ट रूप से $p\le n!-1$, इसलिए हमें केवल यह दिखाने की जरूरत है $p>n$। जबसे$p\mid n!-1$, स्पष्ट रूप से $p\not\mid n!$; लेकिन हर सकारात्मक पूर्णांक$\le n$ विभाजित $n!$, इसलिए $p$ नहीं हो सकता $\le n$। इस प्रकार, हमारे पास होना चाहिए$n<p\le n!-1$।