कैंटर क्यों बेशुमार है [डुप्लिकेट]
मुझे यह देखकर परेशानी हो रही है कि कैंटर सेट में बेशुमार तत्व क्यों हैं।
एक कैंटर सेट $C$बंद हो गया है। इसलिए$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$खुला है और खुले अंतराल के असहमति का गणनीय संघ है। मैं आगे मान सकता हूं कि मैं ऑर्डर दे सकता हूं$\{I_n\}$उनके बाएं अंत बिंदु से क्योंकि केवल उनमें से कई हैं। इस बीच$I_n=(a_n,b_n)$ तथा $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, हमारे पास ये होना चाहिए $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$। अगर$b_n < a_{n+1}$, फिर कैंटर सेट $C$ एक अंतराल है, जो एक विरोधाभास है, के होते हैं $b_n = a_{n+1}$ सबके लिए $n$, और इस तरह से कैंटर सेट में ज्यादातर कई बिंदु हो सकते हैं।
जवाब
आपके तर्क में त्रुटि यह धारणा है कि संख्याओं का एक गणनीय सेट का आदेश दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय पर विचार करें, गणना योग्य, लेकिन आदेश नहीं दिया जा सकता है ('आदेश') का अर्थ है कि इस क्रम में गणना करना$\alpha_1<\alpha_2<\dots$) का है।
यह देखने का एक सरल तरीका है कि कैंटर सेट बेशुमार है, यह देखने के लिए कि सभी संख्याओं के बीच क्या है $0$ तथा $1$ केवल साथ मिलकर टर्नरी विस्तार के साथ $0$ तथा $2$कैंटर सेट का हिस्सा हैं। चूंकि बेशुमार ऐसे कई क्रम हैं, इसलिए कैंटर सेट बेशुमार है।
मैं आगे मान सकता हूं कि मैं ऑर्डर दे सकता हूं $\{I_n\}$ उनके बाएं अंत बिंदु से क्योंकि केवल उनमें से कई हैं।
नहीं। आप ऐसा क्यों सोचेंगे? उदाहरण के लिए अनगिनत संख्याओं पर विचार करें$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ जब तक एक से अधिक संचय बिंदु नहीं होते, तब तक आप उन्हें पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित करने की अपेक्षा नहीं कर सकते।
मैं आगे मान सकता हूं कि मैं ऑर्डर दे सकता हूं $\{I_n\}$ उनके बाएं अंत बिंदु से क्योंकि केवल उनमें से कई हैं।
इस तर्क के द्वारा, क्रम में परिमेय संख्याओं की गणना करना भी संभव होना चाहिए। लेकिन वह बेतुका है।
मैं आपके तर्क का अच्छी तरह से पालन नहीं कर रहा हूं, यह देखने के लिए कि यह गलत कहां है ... एक सवाल जो आप खुद से पूछ सकते हैं "क्या यह दिखाता है कि हर बंद सेट काउंटेबल है?" यहां स्थापित कैंटर के बारे में क्या खास है? मैं इसे नहीं देख रहा हूं।
क्यों कैंटर सेट बेशुमार है, इस पर विचार करें:
कैंटर सेट निर्माण के प्रत्येक परिमित स्तर पर, हम प्रत्येक टुकड़े के मध्य तीसरे को "बाहर फेंक" देते हैं। इसलिए हमारे पास प्रत्येक चरण में निर्णय लेने का निर्णय है: क्या हम बाएं चलते हैं ? या क्या हम सही हैं ?
जैसे, हम शुरू करते हैं $[0,1]$। तब हमें इसमें जाने का फैसला करना होगा$[0,\frac{1}{3}]$ या में $[\frac{2}{3},1]$। मान लीजिए कि हम बाएं चलते हैं। अब हमारे पास इसमें जाने का विकल्प है$[0,\frac{1}{9}]$ या $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$।
आप देख सकते हैं कि चुनावों के प्रत्येक गणना योग्य अनुक्रम (बाएं या दाएं) कैंटर सेट का एक अनूठा बिंदु देता है। इसके अलावा, कैंटर सेट का हर बिंदु इस तरह के विकल्पों के अनुक्रम से मेल खाता है। इसलिए अगर हम लिखते हैं$0$ "बाएं" और के लिए $1$ "सही" के लिए, कैंटर सेट के अंक अनंत तार के साथ आपत्ति में हैं $0$रेत $1$एस।
एक तरफ एक मजेदार के रूप में, सामयिक संरचना वास्तव में भी सहमत है! इसलिए आप अक्सर लोगों को कैंटर सेट पर कॉल करते देखेंगे$2^\omega$। सेट प्रमेय भाषा में, जो मूल रूप से "के अनंत दृश्यों का अनुवाद करता है$0$रेत $1$s ”।
ठीक है, लेकिन अब बेशुमार कई अनंत क्रम होने चाहिए $0$रेत $1$एक विकर्ण तर्क द्वारा । तो कैंटर सेट भी बेशुमार है।
मुझे आशा है कि यह ^ _ ^ की मदद करता है