कैसे अपने आप को (कल्पना) समझाने के लिए $\Bbb S^1$पर कार्रवाई $\Bbb S^3$ क्षेत्र के एक चक्र को ठीक करता है?
कैसे अपने आप को (कल्पना) समझाने के लिए $\Bbb S^1$पर कार्रवाई $\Bbb S^3$ क्षेत्र के एक चक्र को ठीक करता है?
जेसन डेविटो की इस टिप्पणी के कारण , उस कार्रवाई को देखना आसान है$\Bbb S^1$ पर $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ द्वारा परिभाषित $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ पूरे सर्कल को ठीक करता है $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$। लेकिन मैं इसकी कल्पना नहीं कर सकता, क्योंकि मेरे दिमाग में एक्शन की आम तस्वीर यह है कि एक सर्कल एक्शन एक तरह का रोटेशन है, इसलिए इसमें एक रोटेशन एक्सिस है और इस एक्सिस के चारों ओर घूमने से यह अधिकतम 2 पॉइंट पर फिक्स हो सकता है। क्या यह संभव है कि रोटेशन की धुरी एक रेखा नहीं है?
अब, मैं इस क्रिया के बारे में ज्यामितीय रूप से कैसे सोच सकता हूँ? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$।
संपादित करें: अंतिम क्रिया की मेरी समझ यह है कि: एक तरफ$\Bbb S^3$ कताई दक्षिणावर्त है और दूसरी तरफ कताई वामावर्त (पहली क्रिया से अलग विमान में) है और ये क्रियाएं गोले के बीच पर प्रभाव डालती हैं और यह बीच में दुर्लभ और किंक हो जाती है, जैसे यदि हम अलग-अलग दिशाओं में इसकी सीमाओं को स्पिन करते हैं तो सिलेंडर किंक हो जाता है। बीच में पेंच की तरह।
जवाब
मेरे लिए, जिस तरह से मैं रोटेशन के बारे में सोचता हूं, उसके लिए अधिकतम टोरस प्रमेय का परिणाम है $\mathrm{SO}(n)$। अर्थात्, किसी भी दिया$A\in \mathrm{SO}(n)$ (यानी, का एक रोटेशन $\mathbb{R}^n$ जो ठीक करता है $0$), का कुछ आधार है $\mathbb{R}^n$ इस आधार पर संपत्ति के साथ, $A$ नियमित रूप से एक गुच्छा होता है $2$-डिमेटिक रोटेशन ब्लॉक।
अधिक सटीक, लेखन $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ मानक वामावर्त रोटेशन मैट्रिक्स के लिए, हमेशा एक असामान्य आधार होता है $\mathbb{R}^n$ जिसमें $A$ ब्लॉक विकर्ण रूप लेता है $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
यह इंगित करता है कि घुमाव मौलिक रूप से द्वि-आयामी विचार हैं जो तब उच्च आयामों पर बूटस्ट्रैप किए जाते हैं। वास्तव में, यह सभी घुमावों के निर्माण के लिए एक नुस्खा देता है$\mathbb{R}^n$: कोई भी उठाओ $2$-प्लेन करें और उसे थोड़ा घुमाएं। ऑर्थोगोनल पूरक में, कोई भी चुनें$2$-प्लेन और उसे घुमाएं। इन दोनों के ऑर्थोगोनल पूरक में$2$-प्लेन, कोई भी उठाओ $2$-इस पर चढ़कर घुमाएं, आदि।
के बारे में सोच $\mathbb{R}^3$ एक पल के लिए, एक रोटेशन में $xy$-प्लेन एक बिंदु से दूरी को नहीं बदलता है $xy$ किसी भी बिंदु पर विमान $z$-एक्सिस। वास्तव में, एक रोटेशन में$xy$ विमान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है $z$एक्सिस। उपरोक्त अपघटन इंगित करता है कि यह विचार उच्च आयामों का प्रचार करता है। उदाहरण के लिए, में$\mathbb{R}^4$ (निर्देशांक के साथ, कहते हैं, $(x,y,z,t)$) में एक रोटेशन $xy$ विमान एक बिंदु से दूरी को नहीं बदलता है $xy$ में एक बिंदु के लिए विमान $zt$ विमान।
ऐसा क्यों है, उदाहरण के लिए, आपकी कार्रवाई $\Bbb S^3$विपरीत दिशाओं में दो चीजों को घुमा सकते हैं। यह कल्पना करना कठिन है, लेकिन इसमें एक रोटेशन है$xy$-प्लेन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है $zt$-प्लेन, तो कोई "घुमा" नहीं $\Bbb S^3$ आपके एक्शन में होता है।
दूसरी ओर, आपकी सिलेंडर कार्रवाई के लिए, ध्यान दें कि आपकी कार्रवाई रोटेशन की नहीं है $\mathbb{R}^3$सिलेंडर तक सीमित है, इसलिए उपरोक्त में से कोई भी लागू नहीं होता है। वास्तव में, मैं सिलेंडर पर आपकी कार्रवाई को एक रोटेशन नहीं कहूंगा। यह प्रत्येक सीमा घटक पर एक रोटेशन है, लेकिन कौन जानता है कि यह बीच में क्या है!
एक में रोटेशन की उम्मीद नहीं होगी $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ एक "रोटेशन की धुरी" है जो एक लाइन है, यानी वास्तविक आयाम का कुछ है $1$। दूसरी ओर, कोई "रोटेशन की धुरी" की उम्मीद करेगा कि वास्तविक कोडिमेंशन हो$2$, जो यह करता है: संपूर्ण विमान $w_1=0$निश्चित है। और जब आप उस विमान के साथ अंतरंग करते हैं$S^3$ आपको एक सर्कल मिलता है जिसे ठीक किया जाता है।
यदि आप इस उदाहरण की कल्पना करना चाहते हैं, तो यह इस तथ्य का उपयोग करके किया जा सकता है कि $S^3$ का एक सूत्रीय जमावड़ा है $\mathbb R^3$, जो मैं लिखूंगा $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$। इस मॉडल में, कोई निश्चित बिंदुओं के सर्कल को यूनिट सर्कल के रूप में देख सकता है$x,y$-विमान: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ निश्चित बिंदुओं के इस घेरे के बाहर, हर दूसरी कक्षा एक वृत्त है, और कोई भी इन वृत्त कक्षाओं की कल्पना कर सकता है। $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ का उपयोग करते हुए $(r,\theta,z)$बेलनाकार निर्देशांक, निम्नानुसार है। वृत्त कक्षाओं में से एक है$\text{$जेड$-axis} \cup \{\infty\}$। फिर, प्रत्येक स्थिर कोण के लिए$\theta_0$आधा विमान $\theta = \theta_0$ एकल बिंदु पर निश्चित सर्कल को छेदता है $P(\theta_0)$ निर्देशांक के साथ $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$उस आधे विमान की सीमा का किनारा है $z$-एक्सिस जो एक कक्षा है, और शेष आधे विमान को सर्कल की कक्षाओं के एक परिवार द्वारा पाला जाता है जो एक दिशा में उस एकल बिंदु को छोटे और छोटे हो रहे हैं, और जो बड़े दृष्टिकोण पर पहुंचता है $z$-दूसरी दिशा में अधिक बड़ा और बड़ा होना (अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक में) $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ इस आधे तल पर, ये केंद्रित केंद्र हैं $P(\theta_0)$)।