कैसे असंवैधानिक ऐरे लाभ के लिए "प्रसिद्ध" समाधान प्राप्त करने के लिए?
क्या कोई मुझे एक वेबपेज या अन्य संसाधन की ओर संकेत कर सकता है, जो बताता है कि हेनरी कॉक्स के 1987 के IEEE पेपर "रोबस्ट अडैप्टिव बीमफॉर्मिंग" में बीमांकेर अनकंस्ट्रेन्ड एरे गेन एक्सप्रेशन को विश्लेषणात्मक रूप से कैसे हल किया जाए?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
कॉक्स कहते हैं:
सुप्रसिद्ध उपाय है $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
मैं इसे बेहतर तरीके से समझना चाहता हूं कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए।
जवाब
आप लैग्रेग मल्टीप्लायरों की पद्धति का उपयोग करके ऐसी समस्या को हल कर सकते हैं । पहले ध्यान दें कि आपके प्रश्न में अभिव्यक्ति को अधिकतम करना उलटा फ़ंक्शन को कम करने के बराबर है:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
अगला ध्यान दें कि का समाधान $(1)$ स्केलिंग के लिए अपरिवर्तनीय है $\mathbf{w}$, अर्थात् प्रतिस्थापित कर रहा है $\mathbf{w}$ द्वारा द्वारा $c\cdot\mathbf{w}$ में है $(1)$ एक मनमाना अदिश स्थिरांक के साथ $c$फ़ंक्शन का मान नहीं बदलेगा। इसलिए हम ऐसे स्केलिंग का उपयोग कर सकते हैं$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$संतुष्ट है। यह स्केलिंग वांछित संकेत के लिए एकता प्रतिक्रिया से मेल खाती है। इस अड़चन के साथ, समस्या$(1)$ के रूप में सुधार किया जा सकता है
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
हम हल कर सकते हैं $(2)$ लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि का उपयोग कम से कम करके करें
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
औपचारिक रूप से व्युत्पन्न लेना $(3)$ इसके संबंध में $\mathbf{w}^H$ और इसे शून्य पर सेट करता है
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
में बाधा $(2)$ के लिए संतुष्ट है
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
से $(4)$ तथा $(5)$ हम अंत में प्राप्त करते हैं
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
ध्यान दें कि स्केलिंग में $(6)$ वैकल्पिक है और सामान्य समाधान द्वारा दिया गया है $(4)$।
सबसे पहले, अधिकतम SINR बीमफॉर्मर समस्या के समाधान का एक स्केच $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ एक कार्यात्मक नीचे लिखने के साथ शुरू करो $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$कम से कम, और बाधाओं का एक सेट । वास्तव में, वेट डब्ल्यू और डब्ल्यू एच को इन चर के संबंध में व्युत्पन्न लेते समय चर का दो स्वतंत्र सेट माना जाता है; इसलिए, आउटपुट सिग्नल एनर्जी, जिसे आमतौर पर वेट-सिग्नल्स कॉपोरोड के एक वर्ग मापांक के रूप में लिखा जाता है, को एक विश्लेषणात्मक फंक्शन के रूप में लिखा जाना चाहिए, जो उस वर्ग की गणना करने वाले मान की गणना किए बिना:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ रैखिक बाधाओं का परिणामी सेट है $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ और हमें दो Lagrange गुणक, λ और μ के साथ एक Lagrangian लिखना होगा: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$लैग्रेंजियन के दो व्युत्पन्न लेना - पहला, डब्ल्यू के संबंध में और दूसरा, डब्ल्यू एच के संबंध में - हम λ और μ के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं , और, उन्हें बाधा अभिव्यक्तियों के लिए प्रतिस्थापित करते हुए, अंत में पहुंचते हैं। वजन के लिए सूत्र:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$ओपी के अनुरोध के अनुसार, मेरे सर्प्राइज़ के लिए, "वेबपृष्ठ या अन्य संसाधन के लिए एक वेब खोज करना जो विश्लेषणात्मक रूप से बीमफॉर्मर को हल करने का तरीका दिखाता है", मैं इस सूत्र की व्युत्पत्ति के केवल रूखे, त्रुटिपूर्ण संस्करण खोज सकता हूं, एक विशिष्ट दस्तावेज़ पाठ्यक्रम नोटों को इष्टतम बनाता है । अन्य सभी पहलुओं में विषय में एक विस्तृत और उपयोगी परिचय। मुझे यह भी संदेह है कि ओपी ने प्रश्न को सीखने के संसाधन की इस चूक को प्रसारित करने के उद्देश्य से पोस्ट किया है (मेरा मजाक उड़ाने की अजीब कोशिश)।
अभी के लिए, मैं केवल इष्टतम किरण-निर्माण में रुचि रखने वाले छात्रों के लिए सामान्य रैखिक बाधा द्विघात प्रोग्रामिंग पर सीखने की सामग्री की सिफारिश कर सकता हूं । उदाहरण के लिए, रेफ।https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf तथा https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf। इन दस्तावेजों में केवल वास्तविक-मूल्यवान द्विघात रूपों पर विचार किया जाता है, लेकिन मुख्य परिणामों को जटिल डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।