कैसे पर्याप्त रूप से (में) आश्रित वैक्टर हैं $\mathbb R^n$ अंतरिक्ष में व्यवस्था?

Question

वैक्टर के एक सीमित सेट पर विचार करें $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$।

यदि यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है तो $\sum_k \alpha_k v_k=0$ का तात्पर्य $\alpha_k=0$। ज्यामितीय रूप से, मैं रैखिक निर्भरता को यह कहते हुए समझता हूं कि वैक्टर का एक सेट मूल से गुजरने वाले हाइपरप्लेन में निहित है।

दूसरी ओर, हम कहते हैं कि $\{v_i\}_i$हैं affinely निर्भर करता है, तो$\sum_k \alpha_k v_k=0$ के लिये $\alpha_k$सभी शून्य और ऐसे नहीं$\sum_k\alpha_k=0$। जब एक सेट की कल्पना करना एक समान ज्यामितीय अंतर्ज्ञान है$\{v_i\}_i$ संपन्न निर्भर / स्वतंत्र है?

Answer 1

लीनियर (इन) निर्भरता का आपका लक्षण वर्णन काफी सही नहीं है। वैक्टर का हर सेट मूल के माध्यम से किसी प्रकार के हाइपरप्लेन में निहित है, अर्थात् इसका स्पैन।

इसके बजाय, मैं कहूंगा कि वैक्टर का एक परिमित सेट रैखिक रूप से निर्भर है यदि वे मूल के माध्यम से एक हाइपरप्लेन में झूठ बोलते हैं जिसका आयाम सेट में वैक्टर की संख्या से कम है।

और एक समान नस में, बिंदुओं का एक सीमित सेट $\mathbb R^n$अगर यह हाइपरप्लेन में स्थित है, जिसका आयाम माइनस 1 के बिंदुओं की संख्या से कम है, तो यह काफी हद तक निर्भर है । इस प्रकार, एक रेखा पर 3 अलग-अलग बिंदु मुख्य रूप से निर्भर होते हैं, लेकिन एक रेखा पर 2 अलग-अलग बिंदु संपन्न स्वतंत्र होते हैं।

स्वतंत्रता की एक और अच्छी ज्यामितीय तस्वीर है:

• यदि यह एक रेखा खंड का समापन बिंदु है (जो तब होता है और यदि केवल उस जोड़ी के दो बिंदु असमान हों तो)
• यदि त्रिभुज का शीर्ष सेट है तो बिंदुओं का एक ट्रिपल काफी स्वतंत्र है
• यदि चतुष्कोणीय के शीर्ष को सेट किया जाता है तो अंकों का एक वर्ग काफी स्वतंत्र होता है
• ए $k$-वास्तविक अंकों का स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र है अगर यह एक का शीर्ष सेट है $k-1$आयामी सिम्पलेक्स ।

Answer 2

जैसा कि @ रनवे44 कहता है, संपन्न-निर्भर का अर्थ है "वे सभी हाइपरप्लेन में हैं", हालांकि संभवतः एक हाइपरप्लेन है जिसमें मूल नहीं है। इसे जल्दी से देखने के लिए, ले लो$k+1$ वैक्टर $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ साथ में $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ और घटाना $v_0$ प्रत्येक से $v_1, \ldots, v_k$ लेना $w_1, \ldots, w_k$।

फिर वैक्टर $w_k$सभी मूल के माध्यम से एक समानांतर हाइपरप्लेन पर झूठ बोलते हैं। (यह खुद को स्थापित करने के लिए बीजगणित करने के लायक है)।

या, इसे और अधिक शास्त्रीय रूप में रखने के लिए, यदि हम लेते हैं $v_0$ एक नई समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में, फिर शेष $v_i$ वैक्टर सभी एक हाइपरप्लेन में झूठ बोलते हैं।