कैसे व्युत्पन्न सीमा / प्रीहाइफ कॉहोमोलॉजी के कप उत्पाद की गणना करें

Jan 11 2021

मेरी परिमित श्रेणी है $\mathcal{C}$एक फ़नकार के साथ $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$। अगर$F_j$ है $j$-उसका ग्रेडेड टुकड़ा $F$, तो मैं लिखता हूं $H^i(\mathcal{C},F_j)$ के लिए $i$-या डायग्राम की व्युत्क्रम सीमा $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$एबेलियन समूहों के। बराबर, यह है$i$-शिश शेफ का सहसंयोजी $F_j$, जहां मेरा संबंध है $\mathcal{C}$ तुच्छ Grothendieck टोपोलॉजी के साथ साइट के रूप में।

मैंने विभिन्न गणना की है $H^i(\mathcal{C},F_j)$। उन्हें इकट्ठा करते हुए, एक कप उत्पाद संरचना होनी चाहिए$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$। मैं इस उत्पाद संरचना की गणना करना चाहूंगा।

एकमात्र विधि जिसके बारे में मैं जानता हूं वह स्पष्ट संकल्पों, टेनर उत्पादों और कुल परिसरों को शामिल करते हुए शीफ कॉहोमोलॉजी के माध्यम से है (देखें [1])। दुर्भाग्य से, मेरे पास इसका स्पष्ट समाधान नहीं है$F$ या $F \otimes F$: यह हाथ से करने के लिए बहुत जटिल लगता है, खासकर क्योंकि मेरी $F(c)$आमतौर पर असीम रूप से उत्पन्न होते हैं। (मेरी गणना में$H^i(\mathcal{C},F_j)$ मैंने वर्णक्रमीय अनुक्रमों का उपयोग करके इसे दरकिनार किया लेकिन ये उत्पाद संरचना को अस्पष्ट करते हैं।)

मैं निम्नलिखित प्रश्नों का नेतृत्व कर रहा हूं:

  • क्या किसी को प्रीहाइफ कॉहोमोलॉजी / व्युत्पन्न सीमा के कप उत्पादों की गणना के लिए अधिक कुशल विधि का पता है?
  • यदि नहीं, तो क्या कंप्यूटर सॉफ्टवेयर है जो ऊपर दिए गए कुछ कार्यों को लेने में सक्षम हो सकता है?

[१]: आरडी स्वान शीफ कोहोमोलॉजी में कप उत्पाद, शुद्ध इंजेक्शन, और प्रक्षेप्य संकल्प के लिए एक विकल्प।

जवाब

1 DmitriPavlov Jan 12 2021 at 02:06

शीफ (और प्रिज़िफ़) कॉहोमोलॉजी में कप उत्पाद अक्सर स्रोत को हल करके गणना करने में आसान होते हैं (अनुमानी मॉडल संरचना में, कहते हैं), लक्ष्य नहीं। इस तरीके से स्रोत को हल करने के उदाहरण के लिए, द योनेदा युग्मन, हाइपरकोहोमोलॉजी और कप उत्पाद देखें

विचाराधीन मामले में, कोई सी पर एक जटिल मॉडल संरचना के साथ श्रृंखला परिसरों के presheaves की श्रेणी से लैस कर सकता है। उत्तरार्द्ध में एक स्पष्ट कोफ़िब्रेंट रिप्लेसमेंट फ़ंक्टर है, जिसका उपयोग एक स्पष्ट प्रक्षेप्य संकल्प को लिखने के लिए किया जा सकता है। कॉफ़िब्रेंट रिप्लेसमेंट फ़ंक्टर, सी और ओब (C) -indexed चेन कॉम्प्लेक्स पर चेन कॉम्प्लेक्स के प्रीह्वेज़ के बीच के संयोजन के लिए लागू शास्त्रीय बार कंस्ट्रक्शन है।