कमजोर टोपोलॉजी बैनाच अंतरिक्ष के साथ वियोज्य दोहरे
लश्कर $B$ एक दोहरे स्थान के साथ एक बैनच स्पेस हो और जाने दो $(f_n)$ घना और गणनीय है $B^*$। लश्कर$\tilde{\tau}$ नक्शों के संग्रह से जुड़ी प्रारंभिक टोपोलॉजी हो $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$।
मेरा सवाल : है$\tilde{\tau}$ मानक कमजोर टोपोलॉजी पर $B$?
मेरा प्रयास :
लश्कर $\tau$ कमजोर टोपोलॉजी पर ध्यान दें $B$। जाहिर है,$\tau$ सभी बनाता है $f_n$निरंतर है। किया जा रहा है$\tilde{\tau}$ ऐसा करने वाला सबसे छोटा, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$
इसके विपरीत, मैंने इस तरह की टोपोलॉजी के आधार पर तर्क करने की कोशिश की। मनमाना निर्धारण करें$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ तथा $g_1,...,g_N \in B^*$ और याद है कि $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ का खुला पड़ोस है $x_0$ में $\tau$। निष्कर्ष निकालने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि एक खुला पड़ोस मौजूद है$\tilde{U}$ का $x_0$ में $\tilde{\tau}$ ताकि $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$।
मेरा अनुमान कुछ भुगतान करने का है $\tilde{\epsilon}$ आवश्यकता है $f_{n_i} \approx g_i$ सबके लिए $i=1,..,N$ और परिभाषित करते हैं $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$, लेकिन मैं इस शब्द को सीमित करने में संघर्ष कर रहा हूं $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ समान रूप से $x$।
जवाब
अगर $(f_n)$ के मानदंड में सघन माना जाता है $B^{*}$तब यह काफी आसान है। लश्कर$f \in B^{*}$। वहां है$n_1<n_2<...$ ऐसा है कि $\|f_{n_i}-f\| \to 0$। इसका अर्थ यह है कि$f_{n_i} \to f$ किसी भी गेंद पर समान रूप से $B$। प्रत्येक के बाद से$f_{n_i}$ निरंतर wrt है $\overline {\tau}$ यह इस प्रकार है कि $f$ भी निरंतर wrt है $\overline {\tau}$। इस प्रकार हर$f \in B^{*}$ निरंतर wrt है $\overline {\tau}$। इसलिये$\tau \subset \overline {\tau}$।