कर देता है $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ साथ से $M_i, M'_j$ उपमा का तात्पर्य है $M_i \simeq M'_j$ कुछ के लिए मैं, जे

Question

चलो $M$ ए हो $R$-मापांक। हम मानते हैं कि दो परिवार मौजूद हैं$(M_i)_i$ तथा $(M'_j)_j$ के सरल submodules के $M$ ऐसा है कि $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ कुछ है? $i,j$ ऐसा है कि $M_i \simeq M'_j$?

Answer 1

उल्लेखनीय सुविधा के लिए मैं दूँगा $I$ तथा $J$ के लिए सूचकांक सेट हो $M_i$ तथा $M_j'$।

आपके प्रश्न का उत्तर हां और वास्तव में किसी के लिए है $j\in J$ हम ढूंढ सकते हैं $i\in I$ साथ से $M_i\cong M_j'$। यह देखने के लिए, चलो$f:M_j'\hookrightarrow M$ समावेश मानचित्र हो, और परिभाषित करें $f_i=\pi_i\circ f$ हर एक के लिए $i\in I$, कहां है $\pi_i:M\to M_i$प्रक्षेपण मानचित्र है। हम हर नहीं कर सकते$f_i$ पहचान शून्य, या फिर $f$ उस के विपरीत, पहचान शून्य होगा $M_j'$आसान है। इसलिए कुछ है$i$ साथ से $f_i$गैर शून्य। लेकिन सरल मॉड्यूल के बीच कोई भी गैर-शून्य नक्शा एक समरूपता है, इसलिए$f_i$ वास्तव में एक समरूपता है $M_j'\cong M_i$, जैसी इच्छा।

वास्तव में, इसी तरह का एक बयान है $I$ की बजाय $J$: हर एक के लिए $i\in I$, हम ढूंढ सकते हैं $j$ साथ से $M_i\cong M_j'$। यह यहाँ से (1) लेम्मा 1 का प्रमाण है ; वास्तव में, जब से$M=\sum_{j\in J}M'_j$, और प्रत्येक $M'_j$ सरल है, कुछ है $J'\subseteq J$ साथ से $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$। अब हम अनुमानों की रचनाओं पर विचार करके ठीक उसी तर्क को लागू करने की स्थिति में हैं, जो ऊपर दिए गए हैं$\pi_j:M\to M'_j$ (सबके लिए $j\in J'$) समावेश के साथ $M_i\hookrightarrow M$।