कार्टेशियन निर्देशांक के परिवर्तन के लिए मानक समीकरण क्या हैं $\mathbb{R}^2$?
मैं बूथबॉडी इंट्रोडक्शन टू डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के पहले खंड के माध्यम से काम कर रहा हूं , और अभ्यास में से एक इस प्रकार है:
कार्तीय निर्देशांक के परिवर्तन के लिए मानक समीकरणों का उपयोग करना, यह सत्यापित करें $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, कहाँ पे $m_1, m_2$ दो लाइनों का ढलान है, निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है।
यह उल्लेख किया गया है कि यह साबित करके भी किया जा सकता है कि इसका मूल्य केवल दो पंक्तियों के बीच के कोण का स्पर्शरेखा है, लेकिन मेरा मानना है कि इस तरह से अभ्यास पूरा होने का मतलब नहीं है।
मैं कार्टेशियन निर्देशांक के परिवर्तन के मानक समीकरणों से परिचित नहीं हूं। यह निर्देशांक के परिवर्तन की तरह लगता है$\mathbb{R}^2$ किसी भी तरह का रूपांतरण होगा, हालांकि मुझे इस पर यकीन नहीं है।
मेरा सवाल है: कार्टेशियन निर्देशांक के परिवर्तन के लिए मानक समीकरण क्या हैं?
जवाब
चूंकि ग्रेडिएंट अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि कार्टेशियन निर्देशांक की दो प्रणालियों में एक ही मूल है, और प्रत्येक पंक्ति उस सामान्य मूल से गुजरती है। निर्देशांक से परिवर्तन$x,\,y$ समन्वय के लिए $X,\,Y$ संतुष्ट$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$कुछ के लिए $\theta\in\Bbb R$। अगर$y=mx$ तथा $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$आखिरकार,$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$समापन में, यह ध्यान देने योग्य है कि बोथबी ने कार्टेशियन निर्देशांक के बदलाव का उपयोग करने के लिए न केवल हमें आवश्यकता से अधिक काम करने के लिए कहा, यह अंतिम परिणाम को एक दुर्घटना की तरह दिखता है। यह नहीं। लिख रहे हैं$m_1=\tan\theta_1$ आदि।, $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$, इसलिए इसका परिणाम विमान में कोणों के घूर्णी आक्रमण से होता है।
यदि आपके पास दो कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं, $Oxy$ तथा $\Omega\xi\eta$, तब उनसे संबंधित समीकरण है $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ कहाँ पे
- साँचा $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ उलटा और
- $\xi(O)$ तथा $\eta(O)$ के निर्देशांक हैं $O$ दूसरे समन्वय प्रणाली में।