के बेहतर अभिसरण के लिए स्टर्न-ब्रोकोट पेड़ को नियोजित किया जा सकता है $2^m/3^n$?
पहले से पढ़ने:
- क्या किसी सकारात्मक वास्तविक का अनुमान लगाया जा सकता है? $2^m/3^n$ साथ से $(m,n)$ बहुत पर्याप्त?
- स्टर्न ब्रोकोट पेड़ अनुक्रम
कारण है कि मैं एक ऐसी प्रक्रिया की तलाश कर रहा हूं जिसमें यह खामी न हो, यानी जहां अगला सन्निकटन हमेशा वांछित परिणाम के करीब हो। यही मैंने अब तक कोशिश की है।
प्रश्न (2.) के अनुसार, प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए$0 \lt g \lt 1$, स्टर्न ब्रोकोट पेड़ [..] में एक अनंत अनुक्रम मौजूद है जो वास्तविक संख्या में परिवर्तित हो जाता है। इस बीच, इस सवाल का एक उत्तर है , और इसमें मुख्य परिणाम निम्नानुसार है: $$ - \frac{1}{n_1(n_1+n_2)} \lt g - \frac{m_1+m_2}{n_1+n_2} \lt \frac{1}{(n_1+n_2)n_2} $$ प्रश्न (1.) के मद्देनजर, हम विकल्प देते हैं $\ln(2)/\ln(3)$ उस नंबर के लिए $g$। तो यह इस प्रकार है: $$ - \frac{1}{n_1(n_1+n_2)} \lt \frac{\ln(2)}{\ln(3)} - \frac{m_1+m_2}{n_1+n_2} \lt \frac{1}{(n_1+n_2)n_2} \\ - \frac{\ln(3)}{n_1} \lt \ln(2)(n_1+n_2) - \ln(3)(m_1+m_2) \lt + \frac{\ln(3)}{n_2} \\ \ln\left(3^{-1/n_1}\right) \lt \ln\left(\frac{2^{n_1+n_2}}{3^{m_1+m_2}}\right) \lt \ln\left(3^{+1/n_2}\right) \\ 3^{-1/n_1} \lt \frac{2^{n_1+n_2}}{3^{m_1+m_2}} \lt 3^{+1/n_2} $$स्टर्न-ब्रोकोट पेड़ के माध्यम से खोज की जा सकती है। ब्लू लाइन फंक्शन है $\,\color{blue}{x\ln(2)-y\ln(3)=0}\,$, छोटे घेरे भिन्न होते हैं, एक ग्रिड पर मैप किए जाते हैं $\,m/n \to (m,n)\,$, बड़े पैमाने पर काले भरे डॉट्स स्टर्न-ब्रोकोट पेड़ में अंश हैं। यह देखा गया है कि पेड़ के माध्यम से खोज करने से अधिक कुशल है $m$ तथा $n$ एक समय में एक वेतन वृद्धि के साथ।
अब उपर्युक्त सूत्रों की दूसरी पंक्ति में अभिव्यक्ति की तुलना संदर्भ में एक समान अभिव्यक्ति के साथ करें (1.): $$ \ln(2)(n_1+n_2) - \ln(3)(m_1+m_2) \quad \Longleftrightarrow \quad m\ln(2) - n\ln(3) - \ln(r) $$ और एक निराशा के लिए तैयार रहें: मनमाना वास्तविक का लघुगणक $r$लापता है! या वैकल्पिक रूप से:$\ln(r)=0$ या $r=1$। इसका मतलब यह है कि स्टर्न-ब्रोकोट पेड़ के माध्यम से हमारी "अनंत खोज", हालांकि अत्यधिक कुशल है, अंत में केवल नंबर एक के लिए एक अनुमान पर आता है। मुझे यह अजीब लगता है, क्योंकि - रेखांकन - वहाँ के बीच एक महान अंतर नहीं लगता है$\color{red}{2^m/3^n \to r}$ तथा $\color{blue}{2^m/3^n \to 1}$:
इसलिए प्रश्न: क्या स्टर्न-ब्रोकोट प्रक्रिया को अपनाने के लिए कोई साधन मौजूद है जैसे कि यह एक के अलावा अन्य के लिए काम करता है?
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यहाँ एक और ग्राफ आता है जो मेरे Q & A में अनुरूप चित्रों की तुलना में स्टर्न-ब्रोच विधि के साथ आश्चर्यजनक रूप से अभिसरण दर्शाता है, क्या कोई सकारात्मक वास्तविक रूप में अनुमानित किया जा सकता है$2^m/3^n$ साथ से $(m,n)$बहुत पर्याप्त? :
जवाब
मैं एक दृष्टिकोण दूँगा जो स्टर्न-ब्रोच प्रक्रिया का उपयोग नहीं करता है।
यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $\frac{2^{m}}{3^{n}}$अंतराल में घना है [1,2]। चूंकि ले रहे हैं$\alpha\in (0,\infty)$ इस अंतराल के बाहर कुछ है $k\in Z$ ताकि $\alpha = 2^{k}\gamma $ कुछ के लिए $\gamma \in [1,2]$। तब हम जानते हैं कि इसमें एक क्रम है$\frac{2^{m}}{3^{n}}$ कौन सा दृष्टिकोण $\gamma$, क्रम को सही से गुणा करें $2^{k}$ (संभवतः अनुक्रम की एक पूंछ लेते हुए), हमें एक अनुक्रम मिलता है $\frac{2^{m}}{3^{n}}$ कौन सा दृष्टिकोण $\alpha$।
अगला विचार है कि नक्शा $f:[1,2] -> [0,1]$ साथ से $f(x) = log_{2}(x)$ एक आपत्ति है।
की छवि $\frac{2^{m}}{3^{n}}$ नक्शे के तहत है $N-Nlog_{2}(3)$। तो यह दिखाने के लिए पर्याप्त है$N-Nlog_{2}(3)$ में घना है $[0,1]$।
यह वीइल के इक्विडिस्ट्रिब्यूशन प्रमेय का परिणाम है, जो एर्गोडिक प्रमेय का एक विशेष मामला है।
विचार करें $a=2-log_{2}(3) = log_{2}(\frac{4}{3})$, तोह फिर $a$ सेट की छवि में है, तो है $na = log_{2}(\frac{4^{n}}{3^{n}})$ और इसलिए इसका आंशिक हिस्सा है $na$।
वीइल इक्विडिस्टेनेशन प्रमेय (जो एक तुच्छ परिणाम नहीं है) दर्शाता है कि अपरिमेय के भिन्नात्मक भाग के लिए $na$समान रूप से वितरित किया जाता है और इसलिए [0,1] पर घना होता है। जबसे$2-log_{2}(3)$ तर्कहीन है आप इस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।