के कारक $2n^2 \leq n$?
के कितने कारक हैं $2n^2$ से कम या बराबर हैं $n$? मुझे पता है कि कारकों की संख्या$n^2$ से कम $n$ के कारकों की संख्या आधी है $n^2$ (प्रत्येक कारक $< n$ एक से अधिक के साथ मेल खाती है $n$), लेकिन आ $2n^2$यह एक अलग मामला है, ऐसा लगता है। क्या इसके लिए कोई अभिव्यक्ति खोजने का कोई तरीका है? और यदि नहीं, तो क्या इसके लिए एक एल्गोरिथ्म है? मैंने कॉम्बिनेटरिक्स और प्राइम फैक्टराइजेशन दोनों पर ध्यान दिया है, लेकिन डेड-एंड पर पहुंचे हैं।
जवाब
मुझे कोई सामान्य विश्लेषणात्मक समाधान नहीं दिखता है, क्योंकि यह मुख्य कारक पर निर्भर करता है $n$।
लेकिन ओपी कोड भी मांगता है। वह बहुत सीधा है। में मेथेमेटिका :
myfun[n_: Integer] := Length[
Select[Divisors[2 n^2], # <= n &]]
इसलिए:
myfun[9098345]
(* 27 *)
यहाँ एक साजिश है:
यह सीधे समस्या का हिस्सा नहीं है, लेकिन लगता है कि समस्या की प्रेरणा है। यदि उपरोक्त कार्य है$f(n)$, गणना करें $F(N) = \sum\limits_{n=1}^N f(n)$, के लिये $N = 10^{12}$।
मुझे लगता है कि दृष्टिकोण निम्नलिखित है: की संख्या की गणना करें$2$उस राशि में फिर की संख्या की गणना करें$3$एस। और इसी तरह, फिर उन्हें जोड़ें।
की संख्या $2$s है $10^{12}/2$। की संख्या$3$s है $10^{12}/3$। और इसी तरह। लेकिन कुल गणना में हम अधिकतम क्या जोड़ते हैं? मुझे लगता है कि इसमें सबसे बड़ा कारक होना चाहिए$10^{12}$ (अंतिम) अवधि में योग, $k_{max} = \sqrt{50} \cdot 10^5 = 707107$से प्राप्त किया $2 n^2 = 10^{12}$ हिसाब।
यदि यह सही है, तो: $F(10^{12}) = 10^{12} \sum\limits_{k = 1}^{k_{max}} \frac{1}{k} = 10^{12}\ {\rm HarmonicNumber}(k_{max}) = 10^{12} \cdot 14.0461536491411$।
संभवत: कुछ गोलाई वाली कलाकृतियाँ हैं जिन्हें शामिल किया जाना चाहिए, लेकिन मुझे लगता है कि यह सही दृष्टिकोण है। किसी को यह अधिक सावधानी से करना चाहिए।
यह एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है। मान लीजिये$n=2^{a}(2k+1)$ कुछ पूर्णांक के लिए $a$ तथा $k$। आज्ञा देना च (x) = पूर्णांक x के सकारात्मक विभाजक की संख्या। के कारकों के बाद से$2n^2\leq n$ हमें कारकों की संख्या की आवश्यकता है $2^{2a+1}(2k+1)^2$। इस प्रकार हमारे पास है$f(2^a(2k+1))+c_{a}$।कहा पे $c_{a}$त्रुटि कारक के पास बाध्यता का एक छोटा कारक है, जिसे नियतात्मक होना आवश्यक है। हालांकि यह एक मोटा विचार है, मैं बाध्य नहीं हूं लेकिन संकेत के लिए, आप छोटे मामलों की कोशिश कर सकते हैं। हालांकि चलो$g(x)=$x के बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक कम, $$c_{a}\leq f(g(2^{\frac{2a+1}{2}}(2k+1)))-f(2^a(2k+1))$$.जहां हम जानते हैं $f$ प्रसिद्ध विभाजक कार्य है या $\tau$ कार्य और $g$मंजिल समारोह है। भाजक फ़ंक्शन के योग के लिए बाध्य, लोअर बाउंड के लिए इस लिंक का उपयोग करें