के कार्य के लिए असमानता $\arctan(x)$

Question

मैं वह दिखाना चाहता हूं $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ बढ़ता जा रहा है $(0, \infty)$। मैं इसे स्पष्ट रूप से साजिश करके देख सकता हूं, लेकिन मैं इसे कठोरता से लिखने के लिए संघर्ष कर रहा हूं। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि अपनी व्युत्पत्ति हमेशा इस सीमा में सकारात्मक है (जो इसे साजिश रचने से भी स्पष्ट है)। हमारे पास है$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ फिर से यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(और, फिर भी, यह साजिश रचने से स्पष्ट है)। मैं व्युत्पन्न लेने के खरगोश छेद नीचे कूद गया है$g$ साथ ही (चूंकि यह है) $0$ पर $x = 0$ तो यह फिर से दिखाने के लिए पर्याप्त होगा $g' \ge 0$) और यह मेरे लिए तुरंत उपयोगी कुछ भी नहीं देता है। कृपया सहायता करें, अगर आप कर सकते हैं

Answer 1

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ जो व्युत्पन्न है $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ जो व्युत्पन्न है $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

Answer 2

इसके बजाय विचार करें $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$। ध्यान दें कि$g(0) = 0$, तो यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $g'(x) = 0$ के लिये $x \ge 0$।

अभी, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$। इस प्रकार यह विचार करने के लिए पर्याप्त है$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ और दिखाओ $h(x) \ge 0$ के लिये $x \ge 0$। परंतु$h(0) = 0$, तथा $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ सबके लिए $x$। इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।