के फूरियर रूपांतरण $L^1$ फ़ंक्शन जिसका व्युत्पन्न में है $L^1$ और अनंत में गायब हो जाता है $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ इस तरह के एक अलग समारोह है $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$, साबित होता है कि फूरियर के परिवर्तन $f$ नोट किया $\hat{f}$ में है $L^1 (\mathbb{R})$

मुझे पता है अगर $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, तब फिर $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$लेकिन मेरे पास कोई विचार नहीं है कि इस स्थिति का उपयोग कैसे किया जाए जो व्युत्पन्न अनंत पर गायब हो जाए। कोई भी विचार सहायक होगा।

Answer 1

दो संकेत:

इस तथ्य का उपयोग करें $f'$ यह दिखाने के लिए बाध्य है $f' \in L^2$ और उपयोग Plancherel।

ध्यान दें कि $f'$ बाध्य है और कब से है$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ हम देखते है कि $f' \in L^2$। फिर प्लानचेरल ने दिखाया$\hat{f'} \in L^2$। ध्यान दें कि$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$।

कॉची श्वार्ट्ज का उपयोग करें और इसके लिए ध्यान दें $\omega \neq 0$ अपने पास $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$।

के लिये $\omega \neq 0$ अपने पास $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ और कॉची श्वार्ट्ज देता है $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$।