के साथ फ़ंक्शंस का परिवार $f(0) = 0$ तथा $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ यह सामान्य है

Aug 16 2020

मेरा निम्नलिखित प्रश्न है

लश्कर $B$ कार्यों का सेट हो $f$, जो इकाई डिस्क पर विश्लेषणात्मक हैं $\mathbb{D}$ और दोनों को संतुष्ट करें $f(0) = 0$ तथा $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$। साबित करो$B$ एक सामान्य परिवार है।

मेरे उत्तर के कुछ हिस्से हैं जिनके बारे में मैं अनिश्चित हूं।

अनूदित परिवार पर विचार करें $g(z) = f(z) - 1$ जो मान लेता है $\mathbb{C} - [0,1]$। जबसे$g(\mathbb{D})$ बस जुड़ा हुआ है और nonzero, हम एकल मूल्यवान विश्लेषणात्मक शाखाओं को परिभाषित कर सकते हैं $\sqrt{g(z)}$ में $g(\mathbb{D})$। एक बार जब हम एक वर्गमूल लेते हैं, सभी के मान$\sqrt{g(z)}$एक आधे विमान में सम्‍मिलित हैं जहाँ आधे विमानों को अलग करने वाली रेखा में मूल सम्‍मिलित है। फिर, एक संभावित रोटेशन के बाद हम यह मान सकते हैं$\sqrt{g(\mathbb{D}})$बाएं आधे विमान में समाहित है। अब, मैं इस उत्तर में प्रयुक्त तकनीकों को लागू कर सकता हूं$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ साथ में $Re f>0$ तथा $f(0)=1$एक सामान्य परिवार है कि अनुवादित परिवार (इसलिए)$B$) एक सामान्य परिवार है।

एक चीज जिसके बारे में मैं अनिश्चित हूं कि क्या मैं कह सकता हूं कि सभी मूल्य $\sqrt{g(z)}$एक आधे विमान में सम्‍मिलित हैं जहाँ आधे विमानों को अलग करने वाली रेखा में मूल सम्‍मिलित है। यह सच लगता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है। इसके अलावा, मैं इस तथ्य की पूरी ताकत का उपयोग नहीं कर रहा हूं$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ जैसा कि मुझे वास्तव में केवल जरूरत है $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$

किसी भी टिप्पणी या सुझाव बहुत सराहना की जाएगी।

जवाब

1 DanielFischer Aug 16 2020 at 19:22

आपका विचार काफी काम नहीं करता है, और आपने इस धारणा का उपयोग नहीं किया है कि एक नोंडेगेंरेट अंतराल को सीमा से बाहर रखा गया था, एक चेतावनी संकेत के रूप में काम करना चाहिए (लेकिन निश्चित रूप से यह अपने आप में एक सबूत नहीं है कि तर्क काम नहीं कर सकता है ) है।

वह देखने के लिए $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ परिवार की सामान्यता कार्यों पर विचार नहीं करती है $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ के लिये $k \in \mathbb{N}$। हमारे पास है$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ सबके लिए $k$, तथा $f_k(0) = 1 - 1 = 0$। परंतु$f_k(z)$ स्थानीय रूप से समान रूप से अभिसरण करता है $\infty$ सही आधे तल में, और यह स्थानीय रूप से समान रूप से परिवर्तित होती है $1$बाएं आधे तल में। अनुक्रम काल्पनिक अक्ष के किसी भी बिंदु पर स्थानीय रूप से समान रूप से परिवर्तित नहीं होता है।

आपके तर्क में पहली त्रुटि यह दावा है कि $g(\mathbb{D})$बस जुड़ा हुआ है। इसकी आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए विचार करें$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ कहाँ पे $g(\mathbb{D})$ चारों ओर एक छोटी सी डिस्क का पूरक (विमान में) है $0$। की सरल कनेक्टिविटी$\mathbb{D}$ एक होलोमोर्फिक वर्गमूल के अस्तित्व की गारंटी देता है $\sqrt{g(z)}$, लेकिन उस की छवि अभी भी हो सकती है $\mathbb{C}\setminus \{0\}$

लेकिन एक आधा विमान कार्यों में निहित छवि के साथ होलोमोर्फिक कार्यों के एक परिवार को प्राप्त करने के लिए वर्गमूल का उपयोग करने का मूल विचार, इसे बस थोड़ा अलग तरीके से करने की आवश्यकता है।

Möbius परिवर्तन पर विचार करें $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ यह बंद अंतराल को मैप करता है $[1,2]$ सेवा $[-\infty, 0]$, तथा $T(0) = 1$

इसके प्रयोग से हम परिवार पर विचार कर सकते हैं $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ जहां वर्गमूल की मुख्य शाखा का उपयोग किया जाता है।

अभी, $\tilde{B}$लिंक किए गए प्रश्न में सिर्फ परिवार माना जाता है, इसलिए हम जानते हैं कि यह एक सामान्य परिवार है। फिर यह सामान्यता को कम करने के लिए बना रहता है$B$उसमें से। (अगर$(h_k)$ एक स्थानीय रूप से समान रूप से अभिसरण क्रम है, फिर $(F\circ h_k)$ पर भी हल्के परिस्थितियों में समान रूप से समान रूप से अभिसरण है $F$।)