के साथ परिमित क्षेत्रों की विशिष्टता $p^n$तत्व। [डुप्लिकेट]
यह सर्वविदित है कि केवल एक परिमित क्षेत्र मौजूद है $p^n$ तत्वों, isomorphism तक, जहाँ $p$ एक प्रमुख और है $n \geq 1$।
चलो $n = m t$, कहां है $m, t > 1$।
फिर $F = Z_p[X]/(f(X))$ के साथ एक क्षेत्र है $p^n$ तत्वों, प्रदान की $f$ डिग्री के कुछ अप्रासंगिक बहुपद है $n$ में है $Z_p$।
एक ही टोकन से, $G = Z_p[X]/(g(X))$ के साथ एक क्षेत्र है $m$ तत्व ($g$ डिग्री के अप्रासंगिक $m$) है। फिर$G$ है $p^m$ तत्व।
अंत में दें: $H = G[X]/(h(X))$ कहां है $h$ डिग्री का एक विडंबनापूर्ण बहुपद है $t$ में गुणांक के साथ $G$।
अब, मेरी समझ में $F$ तथा $H$ दोनों है $p^n$तत्व। तो मेरा सवाल है:
हैं $F$ तथा $H$ आइसोमॉर्फिक
जवाब
यह क्षेत्रों को विभाजित करने के बारे में एक सामान्य तथ्य पर निर्भर करता है।
चलो $F$ एक क्षेत्र बनो और $f(X)\in F[X]$एक राक्षसी बहुपद हो। एक विस्तार क्षेत्र$K$ का $F$के लिए विभाजन क्षेत्र है$f$ अगर
- $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ में है $K[X]$ (जड़ों को अलग होने की आवश्यकता नहीं है);
- $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$
प्रमेय। अगर$K_1$ तथा $K_2$ के विभाजन क्षेत्र हैं $f(X)\in F[X]$, तो वहाँ एक क्षेत्र समरूपता मौजूद है $\varphi\colon K_1\to K_2$ छोड़ना $F$ बिंदुवार तय।
इसका प्रमाण दीर्घायु है और गैलोज़ सिद्धांत पर किसी भी पुस्तक में पाया जा सकता है, क्योंकि यह एक मूल उपकरण है।
अब बहुपद पर विचार करें $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, कहां है $\mathbb{F}_p$ है $p$-सेलेमेंट फ़ील्ड (जो अद्वितीय आइसोमॉर्फिज़्म तक अद्वितीय है)।
चलो $K$ का एक बंटवारा क्षेत्र हो $f(X)$। फिर$f(X)$ है $p^n$ में अलग जड़ें $K$ (क्योंकि बहुपद का व्युत्पन्न है $-1$) है। दूसरी ओर, जड़ों की जड़ों का समूह$f(X)$ का एक उपक्षेत्र है $K$: वास्तव में, अगर $a,b$ जड़ हैं, फिर $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ तोह फिर $a+b$ की एक जड़ है $f$। अनुरूप रूप से$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$और पारस्परिक जांच करना आसान है। तब से भी$0$ तथा $1$ हम कर रहे हैं जड़ें।
इस प्रकार $K$ है के सभी जड़ों के सेट$f$ और इसीलिए $|K|=p^n$।
इसके विपरीत, यदि $K$ के साथ एक क्षेत्र है $p^n$ तत्वों, फिर वही तर्क जो पहले दिखाते हैं $X^{p^n}-X$ है $p^n$ में अलग जड़ें $K$, तोह फिर $K$ के लिए विभाजन क्षेत्र है $f(X)$।
आइसोमोर्फिज्म तक की विशिष्टता अब प्रमेय से ऊपर है।