के साथ परिमित क्षेत्रों की विशिष्टता $p^n$तत्व। [डुप्लिकेट]

Dec 25 2020

यह सर्वविदित है कि केवल एक परिमित क्षेत्र मौजूद है $p^n$ तत्वों, isomorphism तक, जहाँ $p$ एक प्रमुख और है $n \geq 1$

चलो $n = m t$, कहां है $m, t > 1$

फिर $F = Z_p[X]/(f(X))$ के साथ एक क्षेत्र है $p^n$ तत्वों, प्रदान की $f$ डिग्री के कुछ अप्रासंगिक बहुपद है $n$ में है $Z_p$

एक ही टोकन से, $G = Z_p[X]/(g(X))$ के साथ एक क्षेत्र है $m$ तत्व ($g$ डिग्री के अप्रासंगिक $m$) है। फिर$G$ है $p^m$ तत्व।

अंत में दें: $H = G[X]/(h(X))$ कहां है $h$ डिग्री का एक विडंबनापूर्ण बहुपद है $t$ में गुणांक के साथ $G$

अब, मेरी समझ में $F$ तथा $H$ दोनों है $p^n$तत्व। तो मेरा सवाल है:

हैं $F$ तथा $H$ आइसोमॉर्फिक

जवाब

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

यह क्षेत्रों को विभाजित करने के बारे में एक सामान्य तथ्य पर निर्भर करता है।

चलो $F$ एक क्षेत्र बनो और $f(X)\in F[X]$एक राक्षसी बहुपद हो। एक विस्तार क्षेत्र$K$ का $F$के लिए विभाजन क्षेत्र है$f$ अगर

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ में है $K[X]$ (जड़ों को अलग होने की आवश्यकता नहीं है);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

प्रमेय। अगर$K_1$ तथा $K_2$ के विभाजन क्षेत्र हैं $f(X)\in F[X]$, तो वहाँ एक क्षेत्र समरूपता मौजूद है $\varphi\colon K_1\to K_2$ छोड़ना $F$ बिंदुवार तय।

इसका प्रमाण दीर्घायु है और गैलोज़ सिद्धांत पर किसी भी पुस्तक में पाया जा सकता है, क्योंकि यह एक मूल उपकरण है।

अब बहुपद पर विचार करें $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, कहां है $\mathbb{F}_p$ है $p$-सेलेमेंट फ़ील्ड (जो अद्वितीय आइसोमॉर्फिज़्म तक अद्वितीय है)।

चलो $K$ का एक बंटवारा क्षेत्र हो $f(X)$। फिर$f(X)$ है $p^n$ में अलग जड़ें $K$ (क्योंकि बहुपद का व्युत्पन्न है $-1$) है। दूसरी ओर, जड़ों की जड़ों का समूह$f(X)$ का एक उपक्षेत्र है $K$: वास्तव में, अगर $a,b$ जड़ हैं, फिर $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ तोह फिर $a+b$ की एक जड़ है $f$। अनुरूप रूप से$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$और पारस्परिक जांच करना आसान है। तब से भी$0$ तथा $1$ हम कर रहे हैं जड़ें।

इस प्रकार $K$ है के सभी जड़ों के सेट$f$ और इसीलिए $|K|=p^n$

इसके विपरीत, यदि $K$ के साथ एक क्षेत्र है $p^n$ तत्वों, फिर वही तर्क जो पहले दिखाते हैं $X^{p^n}-X$ है $p^n$ में अलग जड़ें $K$, तोह फिर $K$ के लिए विभाजन क्षेत्र है $f(X)$

आइसोमोर्फिज्म तक की विशिष्टता अब प्रमेय से ऊपर है।