किस प्रकार के स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को संतुष्ट करते हैं $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ सबके लिए $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

चलो $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ सेम $L^2$अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया। इसके बारे में क्या कहता है$X$ अगर $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ सबके लिए $t,s \in \mathbb R^+$? इसके बारे में क्या कहता है$X$ अगर $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ सबके लिए $t,s \in \mathbb R^+$ ?

क्या प्रक्रियाओं का एक विशेष वर्ग है जो उपरोक्त में से एक को संतुष्ट करता है?

अब हम उन्हीं सवालों को दोहराते हैं, लेकिन हम मान लेते हैं $X$एक गाऊसी प्रक्रिया है। क्या हम कुछ नया सीखते हैं?

Answer 1

साथ में $s=t$ हालत यह है $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ जो बलों, कि $Var(X_s)=1$ सबके लिए $s$। और इस तरह $$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ जिसका अर्थ है, कि परस्पर संबंध $X_s$ तथा $X_t$ है $1$ सबके लिए $s$ तथा $t$, और इसीलिए $X_t$ लगभग निश्चित रूप से एक रैखिक कार्य है $X_s$, अर्थात् $$X_t = aX_s + b$$ कुछ के लिए $a$ तथा $b$। यह स्पष्ट है कि सहसंयोजक स्थिति से$a=1$ और हम देख सकते हैं, कि $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$। इस प्रकार हम लिख सकते हैं $$X_t = X_0 + f(t),$$ कहाँ पे $f(t)$ नियतात्मक कार्य है $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$। इसके अलावा किसी भी रूप में परिभाषित$X_t := X_0 + f(t)$ साथ में $Var(X_0)=1$ तथा $f$ कुछ मनमाना कार्य, दी गई स्थिति को पूरा करेगा।