कोई भी निरंतर मानचित्र, कई बिंदुओं पर निश्चित मूल्यों को मानने वाले के लिए समरूप है

Question

चलो $X$ तथा $Y$सामयिक स्थान हो। मान लीजिये$X$स्थानीय रूप से अनुबंधित है और इसमें कोई घना परिमित नहीं है। मान लीजिये$Y$ पथ से जुड़ा हुआ है

दिया हुआ $n$ अंकों के जोड़े $(x_i, y_i)$ कहां है $x_i\in X$ तथा $y_i\in Y$ के लिये $1\leq i\leq n$ और एक निरंतर नक्शा $f:X\to Y$ क्या हम एक निरंतर नक्शा पा सकते हैं $g:X\to Y$ के लिए होमोटॉपिक $f$ ऐसा है कि $g(x_i)=y_i$?

Answer 1

चलो $X$ दोगुनी उत्पत्ति के साथ वास्तविक रेखा हो और $Y$ हो $\Bbb R$, और जाने $f$ प्रक्षेपण मानचित्र हो जो दो मूल को ध्वस्त करता है $0^+$ तथा $0^-$ सेवा $0$। फिर कोई नक्शा$g: X \to Y$ संतुष्ट करता है $g(0^+) = g(0^-)$ इसलिये $\Bbb R$होसडॉर्फ है। इसलिए,$f$ किसी भी नक्शे के लिए होमोटॉपिक नहीं है जो इन दोनों बिंदुओं को अलग-अलग भेजता है।

आपका प्रश्न समावेश से निकटता से संबंधित है $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$समरूप विस्तार संपत्ति होने। विशेष रूप से, यदि यह पड़ोस के विरूपण को हटाने का समावेश है, तो ऐसे होमोटोपी मौजूद हैं। ऊपर के उदाहरण में, प्रत्येक बिंदु पर व्यक्तिगत रूप से एक अनुबंधित पड़ोस होता है, लेकिन दो मूल एक साथ एक पड़ोस नहीं होते हैं जो उन पर पीछे हटते हैं।