कुछ शर्तों के साथ सही आधे विमान पर होलोमोर्फिक कार्यों का वर्गीकरण
निम्नलिखित समस्या एक पुराने जटिल विश्लेषण प्रारंभिक परीक्षा से आती है:
सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का निर्धारण करें $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ आधा विमान पर $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ वह संतुष्ट है $f(\sqrt{n}) = n$ तथा $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$।
स्पष्ट रूप से $f(z) = z^2$इसे संतुष्ट करता है, और मैं यह दिखाना चाहता हूं कि यह एकमात्र उदाहरण है। ध्यान दें कि$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ किसी के लिए व्युत्पन्न व्युत्पन्न को संतुष्ट करने में विफल $\epsilon > 0$। इसके अतिरिक्त, व्युत्पन्न बाध्य का तात्पर्य है कि ऐसा कोई भी$f$ क्रम 1 के साथ विश्लेषणात्मक और उप-घातांक है। मैं यह दिखाने के लिए कार्लसन के प्रमेय को लागू कर सकता हूं $h(z): =f(z) - z^2$ बिल्कुल शून्य है, लेकिन यह प्रारंभिक समस्या के लिए उपयोग करने के लिए एक बहुत भारी हथौड़ा की तरह लगता है।
अधिक सरल प्रमाण पर किसी भी मार्गदर्शन की बहुत सराहना की जाएगी!
जवाब
लश्कर $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; जबसे$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ हमें वह मिलता है $g$ मूल रूप से परिभाषित किया गया $\Re z >-1$ एक संपूर्ण फ़ंक्शन तक फैली हुई है जो संतुष्ट करता है $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$।
मान लीजिये $g$ गैर शून्य और $k \ge 1$ के शून्य का क्रम $g$ पर $0$। तो अगर$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ रेखावृत्त $N(R) \ge [R^2]$ के शून्य से $g$ साथ में $|z|\le R$ संतोषजनक (जेन्सेन प्रमेय द्वारा):
$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$
इसलिए आसान उपयोग करके $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, एक हो जाता है:
$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ कुछ निरंतर के लिए $M$ कि एलएचएस पर अभिन्न से शामिल है $0$ कहना $10$ तथा $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, इसलिए हमें बड़े पैमाने पर विरोधाभास मिलता है $R$