क्या अधिकतम संभावना अनुमान कर्ता पर निर्भर हो सकता है?
यही है, मान लीजिए कि मेरे पास पैरामीटर के साथ वितरण है $\theta$।
यदि मैं इसे एक पैरामीटर के साथ फिर से लिखता हूं $a$ ऐसा है कि $a^3=\theta$, क्या यह संभव है कि वसीयत पर अधिकतम संभावना का अनुमान लगाने से अनुमान लगाया जाएगा $\hat a$ ऐसा है कि $\hat a^3 \neq \hat \theta$?
क्या इससे भिन्न किसी अन्य कार्य के लिए मामला हो सकता है $x^3$?
यदि हां, तो पैरामीरिजेशन चुनने के लिए कुछ मापदंड क्या हैं?
जवाब
अधिकतम संभावना अनुमानकों (MLEs) की प्रतिवादी संपत्ति कहती है, यदि $\hat{\theta}$ का MLE है $\theta$, फिर किसी फंक्शन के लिए $\tau(\theta)$ का MLE $\tau(\theta)$ है $\tau(\hat{\theta})$।
इसलिए, यदि आप परिभाषित करते हैं $a^3=\theta$, एक बार जब आप अपना MLE प्राप्त कर लेते हैं $\theta$, $\hat{\theta}$, आप क्यूबेड की जड़ को लेकर उलटा कार्य कर सकते हैं $\hat{\theta}$ और के MLE प्राप्त करते हैं $a$ (अर्थात $\hat{a}=\hat{\theta}^{1\over{3}}$)
अपडेट करें:
मैंने टिप्पणी में थॉमस लुमले द्वारा उल्लिखित प्रमाण जोड़ा है:
लश्कर $\hat{\eta}$ उस मान को निरूपित करें जो अधिकतम होता है $L^*(\eta|\textbf{x})$। हमें वह दिखाना होगा$L^*(\hat{\eta}|\textbf{x})$=$L^*(\tau(\hat{\theta})|\textbf{x})$। की अधिकतम सीमा$L$ तथा $L^*$ संयोग है, तो हमारे पास है
\ start {eqnarray *} L ^ {*} (\ hat {\ eta} | \ textbf {x}) & = \ _ अंडरस्सेट {\ eta} {\ text {sup}} \ underset {\ _ta]: \ ताऊ (theta) = \ eta \}} {\ text {sup}}, L (\ theta | \ textbf {x}) \\ & = & \ _ अंडरस्लेट {\ ata} {\ text {super}} (\ ata | \ textbf {x}) \\ & = & L (\ hat {\ theta = \ textbf {x}), \ end {eqnarray *}
पहली और तीसरी समानता की परिभाषा के अनुसार है $L^{*}$ तथा $\hat{\theta}$ क्रमशः, और दूसरी समानता रखती है क्योंकि पुनरावृत्त अधिकतमकरण बिना शर्त अधिकतमकरण के बराबर है $\theta$पर प्राप्त किया $\hat{\theta}$। आगे की,
\ start {eqnarray *} L (\ hat {\ theta} | \ textbf {x}) & = \ _ अंडरस्लेट {\ {थीटा: \ tau (\ theta) = \ tau (\ टोपी (\ टोपी) \ _) \ _ }} {\ text {sup}} L ((theta | \ textbf {x}) \\ & = & L ^ {*} \ left [\ tau (\ hat {\ theta}) | \ textbf {x} \ | सही]। \ n {eqnarray *}
इसलिए, समानता का तार दिखाता है $L^{*}(\hat{\eta}|\textbf{x})=L^{*}\left[\tau(\hat{\theta})|\textbf{x}\right]$ और वह $\tau(\hat{\theta})$ का MLE है $\tau(\theta)$। $\blacksquare$