क्या डिफरेंशियल फंक्शंस अलग प्रायिकता उपाय करते हैं?
चलो $(\Omega,d)$ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस और हो $\mathcal P(\Omega)$बोरेल प्रायिकता उपायों के अपने स्थान। चलो$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ कहां है $d_p(x)=d(p,x)$सभी "डिस्टेंस फ़ंक्शंस" का सेट हो। हमेशा की तरह, हम सोच सकते हैं$D$ अभिनय कर रहे $\mathcal P(\Omega)$ (या इसके विपरीत) एकीकरण के माध्यम से यानी $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$।
शीर्षक प्रश्न
कर देता है $D$ अभिनय कर रहे $\mathcal P(\Omega)$ एकीकरण के माध्यम से अलग अंक?
या समकक्ष,
अगर $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ तथा $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ सबके लिए $p\in \Omega$, तो चाहिए $\mu=\nu$?
वैकल्पिक रूप
साथ ही प्रश्न को फ्रेम करने के कुछ अन्य तरीके भी हैं।
संभाव्य निरूपण
सभी अभिन्नों को प्रत्याशित करते हुए अपेक्षाओं के अनुरूप,
अगर $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ सबके लिए $p\in \Omega$, तो चाहिए $\mu=\nu$?
दूसरे शब्दों में, क्या सभी बिंदुओं के लिए एक बिंदु पर अपेक्षित दूरी जानने से माप निर्धारित होता है?
ज्यामितीय निरूपण
याद है कि 1-वासेरस्टीन दूरी द्वारा दिया जाता है $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ कहां है $\Gamma(\mu,\nu)$ के बीच कपलिंग का सेट है $\mu$ तथा $\nu$ यानी बोरेल संभावना पर उपाय $\Omega\times\Omega$ मार्जिन के साथ $\mu$ तथा $\nu$क्रमशः। उत्पाद माप के बाद से$\delta_p\otimes\mu$ एक Dirac डेल्टा उपाय के बीच अद्वितीय युग्मन है $\delta_p$ तथा $\mu$, हमारे पास वह है
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
अब इस प्रश्न को ज्यामितीय रूप से कहा जा सकता है
अगर $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ सबके लिए $p\in \Omega$, तो चाहिए $\mu=\nu$?
दूसरे शब्दों में, जानता है $W_1$ के चरम बिंदुओं से दूरी $\mathcal P(\Omega)$ पूरी तरह से संभाव्यता माप निर्धारित करते हैं?
इंटीग्रल ट्रांस्फ़ॉर्म फ़ोरमेशन
की दूरी परिवर्तन को परिभाषित करें$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ समारोह के रूप में $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ के द्वारा दिया गया $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$। इस प्रश्न को अब,
दूरी परिवर्तन पर इंजेक्शन है $\mathcal P(\Omega)$?
इसके अलावा, ज्यामितीय सूत्रीकरण द्वारा हमारे पास है $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$। हम कमजोर का उपयोग करेंगे-$*$ के लिए टोपोलॉजी $\mathcal P(\Omega)$ (जिसके साथ मेल खाता है $W_1$टोपोलॉजी)। नक्शे के बाद से$p\mapsto \delta_p$ का एम्बेडिंग है $\Omega$ में $\mathcal P(\Omega)$, यह इस प्रकार है कि $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$निरंतर है। द्वारा दूरी परिवर्तन को नकारें$\Phi(\mu)=\phi_\mu$। जबसे$\mathcal P(\Omega)$ कॉम्पैक्ट होसडॉर्फ और है $C(\Omega)$ हौसडॉर्फ है हम इस प्रश्न को शांत कर सकते हैं
अगर $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ निरंतर है, क्या यह एक एम्बेडिंग है?
अंतिम विचार
क्या इनमें से कोई भी समकक्ष कथन सत्य है? मैं दुर्भाग्य से केवल प्रश्न का सुधार करने में सक्षम रहा हूं और किसी भी स्पष्ट प्रमाण की पहचान नहीं की है, हालांकि मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर एक आसान है जो मैं देख रहा हूं। समस्या के ज्यामितीय निरूपण से मुझे ऐसा विश्वास हो जाता है$D$ वास्तव में अलग अंक में है $\mathcal P(\Omega)$। हालांकि, अगर जवाब सकारात्मक है, तो मुझे इसके परिणामस्वरूप अच्छे गुणों का एहसास है$\Phi$यह कुछ ऐसा होगा जो देखने में आसान होगा। किसी भी जानकारी की सराहना की जाएगी।
अपडेट: जॉर्ज लोथर के सुरुचिपूर्ण 4-पॉइंट काउंटर-उदाहरण और पिएत्रो मेजर के सकारात्मक जवाब के लिए$\Omega=[0,1]$यह बेहतर ढंग से समझना दिलचस्प होगा कि कौन से कारक निर्धारित करते हैं कि अंतर्निहित मीट्रिक स्थान एक सकारात्मक उत्तर देता है।
जॉर्ज के काउंटर-उदाहरण को काउंटर-उदाहरणों तक बढ़ाया जा सकता है जहां $\Omega$एक क्षेत्र है (आंतरिक मीट्रिक के साथ)। इस प्रकार, आवश्यकता है$\Omega$सकारात्मक होने के लिए, कई गुना, जुड़ा हुआ, पथ-जुड़ा, बस-जुड़ा हुआ, आदि, इससे समस्या दूर नहीं होगी। दूसरी ओर, पिएत्रो को संदेह है कि जवाब फिर से मामले में सकारात्मक है$\Omega$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक कॉम्पैक्ट उत्तल सबसेट है।
जवाब
नहीं। मान लीजिए $\Omega$ एक वर्ग में व्यवस्थित चार बिंदु होते हैं, जहाँ आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी 1 होती है और विपरीत बिंदुओं की दूरी होती है 2. विशेष रूप से, यदि अंक A, B, C, D तब लेबल किए जाते हैं \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} उदाहरण के लिए, ए, बी, सी, डी को आंतरिक सर्कल मीट्रिक का उपयोग करके एक सर्कल के चारों ओर समान रूप से फैलाया जा सकता है।
दो विपरीत बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए प्रायिकता 1/2 और शेष दो बिंदुओं के लिए संभाव्यता शून्य को निर्दिष्ट करने के लिए दो प्रायिकता के उपाय हैं। \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}आप जांच सकते हैं कि ये दो उपाय सभी ` दूरी कार्यों 'के लिए एक ही अभिन्न अंग हैं । हर बिंदु से औसत दूरी इन दोनों के नीचे 1 के बराबर है।
सकारात्मक पक्ष पर, जवाब सकारात्मक है अगर $\Omega$ इकाई अंतराल है $[0,1]$इसकी मानक दूरी के साथ। इस मामले में$\phi_\mu$ उत्तल है $1$-Lipschitz फ़ंक्शन (वास्तव में, यह सभी के लिए भी परिभाषित किया गया है $p\in\mathbb{R}$, साथ से $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ के लिये $p\notin[0,1]$), बाएं और दाएं डेरिवेटिव के साथ $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ ताकि $\mu$ सभी अंतरालों पर निर्धारित किया जाता है, इसलिए सभी Borel सबसेट पर।
इसके विपरीत, ध्यान दें कि कोई भी उत्तल कार्य $\phi$जैसा कि ऊपर के रूप
में लिखा जा सकता है$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ कुछ बोरेल संभावना माप के लिए $m$ पर $[0,1]$। इसकी वजह है$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ एक गैर-बाध्यताबद्ध कैडलाग फ़ंक्शन है, इसलिए बोरेल प्रायिकता फ़ंक्शन है $m$ ऐसा है कि $g(p)=m(p,1]$, जहां $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ उपरोक्त संबंधों से आसानी से।
मुझे लगता है कि इसका उत्तर भी सकारात्मक है $\Omega$ एक उत्तल कॉम्पैक्ट सेट $\mathbb{R}^n$ यूक्लिडियन दूरी के साथ।