क्या एक nontrivial परिमित सॉल्व करने योग्य समूह के पास प्रत्येक प्राइम डिविज़र के लिए प्राइम पावर इंडेक्स का उपसमूह है?

Aug 18 2020

यह सर्वविदित है कि प्रत्येक अधिकतम उपसमूह $G$ प्राइम पावर इंडेक्स है अगर $G$ एक परिमित परिमित सॉल्व करने योग्य समूह है।

मेरा प्रश्न है: क्या हम यह साबित कर सकते हैं कि प्रत्येक प्रधान के लिए$r\in\pi(G)$ की एक अधिकतम उपसमूह मौजूद है $G$ की शक्ति का सूचकांक $r$?

मैंने इसे साबित करने की कोशिश की लेकिन मैंने पाया कि मैंने अपने सबूत में गलती की है। यहाँ मेरा प्रयास है:

परिभाषित $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ हम दावा करते हैं कि $\pi^*$एक खाली सेट है। मान लो की$\pi^*$खाली नहीं है। तब अधिकतम उपसमूह के सूचकांक वास्तव में primes की शक्तियां हैं$\pi(G)\setminus\pi^*$। एक सिलो ले लो$q$-subgroup $S_q$ प्रत्येक के लिए $q\in\pi(G)$। के लिये$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, एक मनमाना अधिकतम उपसमूह ले लो $M$ का $G$ ऐसा है कि $|G:M|$ की शक्ति है $p$। हमारे पास है$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ इसका तात्पर्य है कि $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ के किसी भी अधिकतम उपसमूह में निहित नहीं है $G$। परंतु$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ में ठीक से समाहित है $G$, जो एक विरोधाभास है।

मेरी गलती :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ जरूरी नहीं कि एक उपसमूह हो $G$, इसलिए वास्तव में मुझे कोई विरोधाभास नहीं मिल सकता है।

क्या आप मुझे कुछ विचार दे सकते हैं? मुझे लगता है कि शायद मुझे इसे अलग तरीके से साबित करना चाहिए। किसी भी मदद की सराहना की है। धन्यवाद!

जवाब

6 DavidA.Craven Aug 18 2020 at 16:49

यह घुलनशील समूहों पर हॉल का प्रमेय है। य़ह कहता है:

एक परिमित समूह घुलनशील है यदि और केवल यदि, प्रत्येक के लिए $p\mid |G|$, वहाँ मौजूद है $p'$-subgroup $H$ जिसका सूचकांक एक शक्ति है $p$

एक उपसमूह $H$ ऐसा है कि $|H|$ तथा $|G:H|$कोप्राइम एक हॉल उपसमूह कहा जाता है , और अगर$\pi$ इस तरह के primes का एक सेट है $p\in \pi$ विभाजित $|G|$ यदि और केवल यदि यह विभाजित होता है $|H|$, फिर $H$ एक हॉल है $\pi$-subgroup।

संकेत के बिना इसे साबित करना थोड़ी चुनौती है। आप इसे अपनी पसंदीदा पाठ्यपुस्तक में देख सकते हैं, या एक दिशा के लिए नीचे की रूपरेखा का अनुसरण कर सकते हैं। लश्कर$\pi$ primes का एक सेट हो, और हम एक हॉल के अस्तित्व को साबित करना है $\pi$-subgroup in $G$

  1. लश्कर $K$ का एक न्यूनतम सामान्य उपसमूह हो $G$। अगर$K$ एक है $\pi'$-सुबग्रुप तब सब कुछ हो जाता है।
  2. अगर $K$ एक है $p$-subgroup के लिए $p\in \pi$, फिर आप शूर-ज़सेनहास प्रमेय का उपयोग एक हॉल के पूर्व-उपयोग के लिए कर सकते हैं $\pi$-subgroup in $G/K$

आप यहाँ एक पूर्ण प्रमाण पा सकते हैं , पृष्ठ २ proof ।

4 JCAA Aug 18 2020 at 16:49

हां, प्रत्येक सेट के लिए परिमित परिमित समूह में एक हॉल उपसमूह होता है, जिसका क्रम केवल इन अपराधों से विभाज्य होता है और सूचकांक उनमें से किसी के द्वारा विभाजित नहीं होता है। अब उन सभी अपराधों का सेट लें, जो समूह के क्रम को विभाजित करते हैं, लेकिन एक। एक संबंधित हॉल उपसमूह वह है जो आपको चाहिए।

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup