क्या हमेशा एक फ़ंक्शन मौजूद होता है $ f $ जिसके लिए $ Y - f ( X ) $ तथा $ X $ स्वतंत्र हैं
लश्कर $ X $ तथा $ Y $ असली यादृच्छिक चर हो।
क्या हमेशा एक फ़ंक्शन मौजूद होता है $ f $ जिसके लिए $ Y - f ( X ) $ तथा $ X $ स्वतंत्र हैं
मैंने बयान को साबित करने की कोशिश की, लेकिन मैं ऐसा नहीं कर सका।
यदि कथन गलत है, तो यादृच्छिक चर मौजूद होना चाहिए $ X $ तथा $ Y $ ऐसे किसी भी कार्य के लिए $ f $, $ Y - f ( X ) $ तथा $ X $स्वतंत्र नहीं हैं ।
लेकिन मुझे भी रैंडम वैरिएबल की ऐसी जोड़ी नहीं मिली $ X $ तथा $ Y $।
मैं किसी भी सलाह या संकेत की सराहना करेंगे!
जवाब
नहीं, लेकिन वहाँ मौजूद है $f(X)$ ऐसे कि वे असंबद्ध हैं।
दो चर $X$ तथा $Y$ यदि संभव हो तो स्वतंत्र वितरण $Y|X$ पर निर्भर नहीं करता है $X$। विचार करें$Y|X \sim N(0, X^{2})$, फिर $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ जो अब भी निर्भर करता है $X$ किसी भी समारोह के लिए $f$।
अगर हम परिभाषित करते हैं $E[f(X)]$ ताकि $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, फिर $Cov(Y-f(X), X) = 0$। उदाहरण के लिए, चलो$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ रेखीय हो।
लश्कर $\Omega = \{a,b,c\}$ तीन परिणामों के साथ एक प्रायिकता स्थान हो, प्रत्येक में संभाव्यता हो $1/3$। लश्कर$X = 1_{\{a\}}$ तथा $Y = 1_{\{b\}}$। आप देख सकते हैं कि अगर$A,B$इस अंतरिक्ष में स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो उनमें से किसी एक में 0 या 1 संभावना होनी चाहिए; नतीजतन, किसी भी यादृच्छिक चर से स्वतंत्र$X$स्थिर रहना चाहिए। परंतु$Y-f(X)$ कभी भी स्थिर नहीं हो सकता, क्योंकि यह आवश्यक रूप से विभिन्न मूल्यों को ले जाएगा $b$ तथा $c$।