क्या हमेशा विभाजन करना संभव है $[a,b]\times[c,d]$ खंड खंड में $D_{ij}$ अनुसूचित जनजाति $\left.f\right|_{D_{ij}}$ विशेषण है?
द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर विचार करें $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ ऐसा है कि $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$।
इसके अलावा, हमारे पास वह भी है $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ और यह विशेषण है।
मेरा प्रश्न
क्या हमेशा विभाजन करना संभव है $[a,b]\times[c,d]$ खंड खंड में $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, कहाँ पे $1\leq i \leq m$ तथा $1\leq j\leq n$, ऐसा है कि $\left.f\right|_{D_{ij}}$ विशेषण है?
यदि हां, तो क्या न्यूनतम ब्लॉक है $D_{ij}$ कि इस प्रतिबंध को संतुष्ट?
यहां मैं फ़ंक्शन को मानता हूं $f$ कहीं भी स्थिर नहीं है और $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ हर एक के लिए $(x,y)\in[0,1]^{2}$।
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जवाब
जवाब न है।
जैसे, आज्ञा देना $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ तथा $$f(x,y):=(g(x),y)$$ के लिये $(x,y)\in[0,1]^2$, कहाँ पे $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ के लिये $x\in(0,1]$ साथ में $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ तथा $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$। फिर$f$ एक विशेषण है $C^1$ से नक्शा $[0,1]^2$ सेवा $[0,1]^2$।
साथ ही, किसी के लिए भी $(x,y)\in[0,1]^2$, कोई भी $u\in(0,1]$, और कोई भी $v\in[0,1]$ समानता $f(x,y)=(u,v)$ का तात्पर्य $y=v$ तथा $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ और इसलिए $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ ताकि $\ln x$ सबसे भिन्न होता है $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ समान रूप से $u\in(0,1]$।
इसके अलावा, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ कुछ असली के लिए $t$ (केवल पर निर्भर करता है $p$ तथा $a$) और सभी $x\in(0,1]$।
तो, दी गई शर्त (1), $g'(x)$ से अधिक नहीं संकेत बदल सकते हैं $n$ समय, कुछ प्राकृतिक के लिए $n$ केवल पर निर्भर करता है $p$ तथा $a$। इसलिए,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ किसी के लिए $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$। इसके अलावा,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ किसी के लिए $v\in[0,1]$। इसलिए,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ किसी के लिए $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$।
दूसरी ओर, यह (2) और (0) से आता है $g'$ के किसी भी सही पड़ोस में कई बार साइन इनफिनिटी बदल देता है $0$। इसलिए, का प्रतिबंध$f$ किसी भी आयत पर एक शीर्ष के साथ $(0,0)$ विशेषण नहीं है।
एक चित्रण के लिए, नीचे दिए गए रेखांकन हैं $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (बाएं) और $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (के लिए ठीक $p=3/2$ तथा $a=9/10$। ये ग्राफ फ़ंक्शन के ग्राफ के गैर-रेखीय रूप से बेहतर (क्षैतिज और लंबवत, बेहतर धारणा के लिए) संस्करण हैं।$h$ के एक सही पड़ोस में $0$।
