क्या कोई कारण है कि यह तकनीक अमान्य है?
क्या है $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? इस सीमा का मूल्यांकन करने का एक सरल तरीका विकल्प है$0$ के लिये $x$ अंश में प्राप्त करने के लिए
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
जबसे $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ चूँकि एक ही मात्रा से घटाई गई मात्रा 0. यह तकनीक इस तथ्य का उपयोग करते हुए विभाजन की समस्या को शून्य से कम करती है $\cos(0)$ ज्ञात है।
जवाब
नहीं, आप ऐसा दावा नहीं कर सकते $x=0$ जबकि अंश में $x\ne0$ हर पर!
अपनी पद्धति का उपयोग करते हुए, इस सीमा का मूल्यांकन करने का एक सरल तरीका स्थानापन्न करना है $0$ के लिये $x$ हर में प्राप्त करने के लिए $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ जैसा कि अंश नॉनजरो है।
एक प्रतिधारण :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ वास्तव में $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, तोह फिर $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel ठीक है, यहाँ एक काउंटर उदाहरण है: अभिव्यक्ति पर विचार करें $\frac{\sin 2x}{x}$ और जाने $x$ शून्य पर जाएं: इस सीमा का उत्तर है $2$। अब अभिव्यक्ति पर विचार करें$\frac{\sin 2x-0}{x}$ के लिये $x$शून्य पर जा रहा है। इस सीमा का उत्तर अभी भी है$2$। परंतु$\sin0=0$ इसलिए हम अब अभिव्यक्ति पर विचार कर सकते हैं $\frac{\sin 2x-x}{x}$के साथ फिर से $x$शून्य पर जा रहा है। लेकिन अब यह सीमा है$1$। इसलिए जब आप "आंशिक" प्रतिस्थापन करते हैं, तो उत्तर बदल जाता है। दूसरे शब्दों में, जब आप के लिए स्थानापन्न$x$, आपको हर काम करने की जरूरत है $x$ अभिव्यक्ति में।
चलो $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$। हम खोजने की इच्छा रखते हैं$\lim_{x\to e}f(x)$।
प्रस्तावित पद्धति का उपयोग करके गलत उत्तर दिया जाएगा।
यह अमान्य है।
आप एक चर को एक अभिव्यक्ति के एक भाग में एक स्थिर के साथ नहीं बदल सकते हैं लेकिन इसे दूसरे में चर के रूप में छोड़ सकते हैं।
यदि आप किसी चर को किसी स्थिरांक से बदलकर सीमा का अनुमान लगाना चाहते हैं तो आपको उसे हर जगह बदलना होगा। यदि आप ऐसा करते हैं तो आप$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ और यह हमारी मदद नहीं करता है।
हमें मान लेना चाहिए $x \ne 0$ और अगर हम इसे बदलते हैं तो हमें इसे बदल देना चाहिए $x = h\ne 0$ और हम प्राप्त करते हैं $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$और हम प्रतिस्थापित नहीं कर सकते$h$ साथ से $0$ ऊपर में और नीचे नहीं क्योंकि $h$ आईएसएन "टी $0$। और जो भी हो$x$ अंश में है, $x$ हर में एक ही बात होनी चाहिए।
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त्रुटि का तर्क यह है कि शीर्ष में एक छोटी सी धोखाधड़ी $x\approx 0$ बोले तो $\cos x \approx \cos 0$ज्यादा प्रभावित नहीं करेगा। लेकिन वह गलत है। में हेरफेर नीचे एक बनाता है विशाल अंतर।$\frac 1x \not \approx \frac 10$। वह नो-नो है।
पूरा नो-नो।
और पूरी तरह से अमान्य है।