क्या कोई विशिष्ट गणित उपकरण या एक गणित क्षेत्र है जो एक तर्कहीनता प्रमाण का अध्ययन करने या बनाने में उपयोगी है?
ऐसा लगता है कि, सामान्य रूप से, कुछ "कठिन" निरंतर के तर्कहीनता या पारलौकिक प्रमाण, जैसे $e,\pi$ या $e^\pi$, यह दर्शाता है कि इसमें एक पूर्णांक है $(0,1)$। लेकिन ऐसा लगता है कि इस विरोधाभास तक पहुंचने का कोई सुसंगत तरीका नहीं है।
तर्कहीनता का एक प्रकार का लगातार प्रमाण (केवल एक ही शायद) "बीयूकर्स इंटीग्रल्स" का उपयोग है, जिसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि ये निम्नलिखित संख्याएं तर्कहीन हैं: $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $। मूल रूप से, आपको एक अभिन्न निर्माण करने की आवश्यकता है$I_n$, ऐसा है कि, $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$, कहाँ पे $a_n,b_n,d_n$ पूर्णांक हैं और $d_nI_n \to 0$ जैसा $n$बड़ा होता है, इस प्रकार शून्य और एक के बीच पूर्णांक दिखाता है। हालाँकि, मुझे लगता है कि यह तरीका मौत का दूध है और इसकी सीमा तक पहुँच गया है।
बहुरूपियापन के सबूत के लिए$\zeta(3)$इसके लिए एक तेज अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करता है। लेकिन ऐसा लगता है कि यह प्रमाण "अलग-थलग" है, इस अर्थ में कि इसे किसी अन्य स्थिरांक पर दोहराया नहीं जा सकता है। सभी तर्कहीनता के सबूत इस अर्थ में "पृथक" हैं। उन सभी में समानता का अभाव है, ब्यूकर्स विधि को छोड़कर।
क्या कोई विशिष्ट गणित उपकरण या एक गणित क्षेत्र है जो एक तर्कहीनता प्रमाण का अध्ययन करने या बनाने में उपयोगी है?
उदाहरण के लिए, इस पत्र में कुछ प्रमाणों के साथ ट्रांसेंडेंटल संख्या सिद्धांत में कुछ सामान्य और विशेष परिणाम शामिल हैं।
जवाब
निश्चित रूप से कई क्षेत्रों के लिए एक प्रमाण खोजने के लिए वादा कर रहे हैं, कहते हैं, अनुमान है कि $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$सभी तर्कहीन हैं। विशेष रूप से, संख्या सैद्धांतिक तरीकों को कॉम्बिनेटरिक्स (असममित तरीके) के साथ जोड़ा जा सकता है। यह ज़ुडिलिन के प्रमाण द्वारा समर्थित है , जिन्होंने इन विधियों के साथ निम्नलिखित परिणाम दिखाए:
प्रस्ताव: संख्याओं में से एक$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ तर्कहीन है।
यहां कमजोर परिणाम के लिए उनके पास एक प्राथमिक प्रमाण भी है ।