क्या लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन का उपयोग करके इस समीकरण को हल करना संभव है?
मैं एक समीकरण में आया था जिसे हल करने की आवश्यकता है जब मैं एक स्कूल परियोजना पर काम कर रहा था। मैंने लैम्बर्ट का उपयोग करने की कोशिश की है$W$निम्नलिखित समीकरण को हल करने के लिए कार्य किया है, लेकिन मुझे कोई सफलता नहीं मिली है। क्या इसका हल निकालना भी संभव है$x$ संख्यात्मक तरीकों के बिना?
$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$
जवाब
लैम्बर्ट डब्ल्यू का उपयोग करके इसे सामान्य रूप से हल करना संभव नहीं लगता है। यह संभव होगा यदि $a$ या $b$ था $0$।
यदि कोई पैरामीटर छोटा माना जा सकता है तो आप श्रृंखला समाधान की कोशिश कर सकते हैं। इस प्रकार शक्तियों में एक श्रृंखला$k$ है
$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$
एक औपचारिक दृष्टिकोण से, आप इसे कर सकते हैं।
समीकरण को फिर से लिखें $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$जिसका सामान्यीकृत लैम्बर्ट फ़ंक्शन के संदर्भ में समाधान है ।
बस समीकरण पर एक नजर है $(4)$ लिंक किए गए पेपर में।
यह अच्छा है लेकिन व्यावहारिक दृष्टिकोण से बहुत उपयोगी नहीं है।
चूंकि आपको संख्यात्मक पद्धति की आवश्यकता होगी, इसलिए आपको फ़ंक्शन के शून्य (एस) को खोजने के लिए अनुमान लगाने की आवश्यकता है
$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$। पहला व्युत्पन्न जा रहा है$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ यह रद्द करता है $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ अगर $x_*$मौजूद है, एक अनुमान के रूप में प्राप्त करने के लिए इस बिंदु के आसपास एक टेलर विस्तार करें $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$
आइए हम कोशिश करते हैं $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$।
यह देगा $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$
फिर $x_0=1.58434$ जबकि सटीक समाधान है $x=1.50069$।
चूंकि हमारे पास है $x_0$, हम न्यूटन विधि को पुन: प्रदर्शित करते हैं; वे होंगे$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$