क्या ऑट (जी) → आउट (जी) हमेशा एक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लाइ ग्रुप जी के लिए विभाजित होता है?

Question

एक टोपोलॉजिकल समूह का बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह $G$ लघु सटीक अनुक्रम द्वारा निर्मित है $$ 1\longrightarrow \operatorname{Inn}(G) \longrightarrow \operatorname{Aut}(G) \longrightarrow \operatorname{Out}(G) \longrightarrow 1. $$यह क्रम हमेशा विभाजित नहीं होता है, गैर-विभाजन ऑट (G) देखें$\to$बाहर (जी)? , उदाहरण के लिए असतत समूह के लिए$G = A_6$।

मुझे इस मामले में दिलचस्पी है $G$एक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लाई समूह है। क्या इस मामले में अनुक्रम हमेशा विभाजित होता है? (अगर$G$ एक साधारण झूठ बीजगणित है $\mathfrak{g}$फिर मुझे विश्वास है कि उत्तर हां है ।)

Answer 1

हाँ, $\operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G)$हमेशा विभाजित होता है। प्रमाण आपके प्रश्न के उत्तर के रूप में है (आवश्यक रूप से जुड़ा हुआ नहीं) कॉम्पैक्ट झूठ समूहों का वर्गीकरण : संबंध$\operatorname{Aut}(G)$ के विस्तार के रूप में $\operatorname{Inn}(G) = G/\operatorname Z(G)$ असतत समूह द्वारा $\operatorname{Out}(G)$, और लिफ्ट $\operatorname{Out}(G)$ सेवा मेरे $\operatorname{Aut}(G)$ऑटोमोर्फिम्स के रूप में जो उस उत्तर के अर्थ में एक पिनिंग को संरक्षित करता है । (इन्हें अक्सर "आरेख ऑटोमोर्फिम्स" कहा जाता है।) उस अन्य प्रश्न पर हमें लीन समूह के अंदर घटक समूह का एक ईमानदार खंड नहीं मिला क्योंकि आप यह नहीं मानते थे कि पहचान घटक केंद्र-रहित था, लेकिन निकटवर्ती समूह के बाद से$\operatorname{Inn}(G)$ केंद्रशासित है, यहाँ सब कुछ ठीक है।