क्या यह संभव है $2^{2A}+2^{2B}$ एक वर्ग संख्या है?

Question

आज्ञा देना ए और बी दो सकारात्मक पूर्णांकों से अधिक है $0$। क्या यह संभव है$2^{2A}+2^{2B}$ एक वर्ग संख्या है?

मुझे इस अभ्यास से परेशानी हो रही है क्योंकि मुझे लगता है कि इसका उत्तर नहीं है, लेकिन मैं प्रमाण के बारे में विस्तार से नहीं बता सकता। अब तक जो मैंने सोचा था कि यह मान लेना है कि कुछ पूर्णांक है$C>0$ ऐसा है कि $2^{2A}+2^{2B}=C^2$। फिर$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$मैं यह देखने की कोशिश कर रहा था कि क्या पिछली अभिव्यक्ति में विरोधाभास हो सकता है लेकिन मैं फंस गया हूं। मुझे बस यही मिल सकता है$C$एक सम संख्या की जरूरत है लेकिन वह मुझे कहीं भी प्राप्त नहीं होती है। मैं किसी भी मदद की सराहना करता हूँ।

अग्रिम में धन्यवाद!

Answer 1

व्यापकता के नुकसान के बिना, चलो $A>B$। फिर$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ एक वर्ग का तात्पर्य है $2^{2A-2B}+1$ के रूप में एक वर्ग है $2^{2B}$एक वर्ग है। लेकिन यह असंभव है$2^{2A-2B}$ एक वर्ग है।

Answer 2

शुभ्रजीत भट्टाचार्य का जवाब एक सरल, प्रत्यक्ष प्रमाण देता है $2^{2A}+2^{2B}$एक वर्ग नहीं हो सकता। लेकिन सिर्फ मनोरंजन के लिए, ओपी के दृष्टिकोण को समाप्त कर दें (जो मैंने शुरू में सोचा था कि एक मृत अंत हुआ)।

अगर $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, तब फिर $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, जिसका अर्थ है कि $2^A+2^B+C$ तथा $2^A+2^B-C$ की दोनों शक्तियाँ हैं $2$, और जाहिर है की विभिन्न शक्तियाँ$2$, कहते हैं $2^a$ तथा $2^b$ साथ से $a\gt b$ तथा $a+b=A+B+1$। लेकिन इसका तात्पर्य है

$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$

अगर हम अब मान लेते हैं, बिना सामान्यता के नुकसान के, तो $A\ge B$, अपने पास

$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$

अभी $a\gt b$ का तात्पर्य $2^{a-b}+1$ से अधिक विषम संख्या है $1$जिससे यह इस प्रकार है कि हमारे पास होना चाहिए $A\gt B$ (अन्यथा बाएं हाथ की ओर की शक्ति है $2$, विषम संख्या के एक से अधिक नहीं है $1$) है। यह बदले में तात्पर्य है$b=B+1$ तथा $a-b=A-B$जिससे हम मिलते हैं

$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$

के विपरीत है $a+b=A+B+1$।

टिप्पणी: मैं यहाँ विरोधाभास की प्रकृति से थोड़ा आश्चर्यचकित था, और मुझे यह सुनिश्चित करने के लिए अपने काम को सावधानीपूर्वक जांचना पड़ा कि मैंने बेवकूफ अंकगणित की गलती नहीं की है।

Answer 3

सिर्फ़ कर दो।

सामान्यता के नुकसान के बिना मान लें कि $A \le B$ तोह फिर

$2^{2A} + 2^{2B}=$

$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$

$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$

$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$।

इसलिए अगर यह सही वर्ग है तो हमारे पास होना चाहिए $(2^{B-A})^2 + 1$ एक आदर्श वर्ग है।

परंतु $(2^{B-A})^2$एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए हमारे पास लगातार दो पूर्ण वर्ग हैं। अपने आप को यह विश्वास दिलाना आसान होना चाहिए कि केवल वही समय होता है जो कभी होता है$0^2$ तथा $1^2$। (सबूत के रूप में)।

तो ऐसा होने का एकमात्र तरीका है $(2^{B-A})^2 = 0$ तथा $(2^{B-A})^2 + 1=1$।

परंतु $2^{B-A} = 0$ संभव नहीं है।

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परिशिष्ट: तब केवल दो लगातार वर्ग होते हैं $0$ तथा $1$।

प्रमाण: मान लीजिए $m^2 = n^2 + 1$। कहां है$m,n$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं। $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ तोह फिर $n < m \le m+1$। लेकिन केवल पूर्णांकों के बीच$n$ (अनन्य) और $n+1$ (सम्मिलित) है $n+1$ तोह फिर $m = n+1$। इसलिए$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ तोह फिर $2n = 0$ तथा $n = 0$ तथा $m =1$।

Answer 4

मान लो की $2^{2A}+2^{2B}$एक आदर्श वर्ग है। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लें$A \geqslant B$। तो करने दें$A-B=x$, कहां है $x$एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है। यह इस प्रकार है कि हमारे पास है:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$अब, यदि LHS एक पूर्ण वर्ग है, तो RHS भी एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि$2^{2x}+1$एक आदर्श वर्ग है। इसे रहने दो$n^2$। हमारे पास तब है:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ अब, हमें चाहिए $n-1$ तथा $n+1$ दोनों की संपूर्ण शक्तियाँ हैं $2$। यह केवल के लिए हो सकता है$n=3$। हालाँकि, फिर भी, हम केवल होगा$2^{2x}=8$ जो असंभव है $x$एक पूर्णांक है। इस प्रकार, कोई समाधान मौजूद नहीं है।

Answer 5

हमारे पास होगा $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$के रूप में असंभव है $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$।