लश्कर $x_0$ एक पारलौकिक संख्या हो, $x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_n^2+3x_n-2}$। की सीमा क्या है $x_n$?
लश्कर $x_0$ एक पारलौकिक संख्या हो, $$x_{n+1}=\frac{3-x_n}{x_{n}^{2}+3x_{n}-2}$$ की सीमा क्या है $x_{n}$?
का चयन करें $x_0=\pi$, और लगता है कि की सीमा $x_n$ है $-1$। लेकिन इसके लिए क्या प्रमाण है$\pi$और अन्य नंबर? लश्कर$$f(x)=\frac{3-x}{x^{2}+3x-2}$$ निम्नलिखित सहायक हो सकता है। $$f'(x)=\frac{(x-7)(x+1)}{(x^{2}+3x-2)^2}$$ $$f(x)-x=\frac{-(x-1)(x+1)(x+3)}{x^{2}+3x-2}$$ $$f(x)+1=\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x-2}$$।
जवाब
लश्कर $f(x) = \frac{3-x}{x^2+3x-2}$। अगर$\lim x_n$ तब मौजूद है $L = \lim x_{n+1}=\lim x_n$, तो सेट $$L=f(L)$$
इसके तीन समाधान हैं: $L = -3, -1, 1$। सही को खोजने के लिए, ध्यान दें कि आसपास के एक छोटे से पड़ोस के लिए$-3$, आपके पास $|f(x)+3|>|x+3|$और आसपास $1$, आपके पास $|f(x)-1|>|x-1|$। दोनों के लिए$-3$ तथा $1$अंतर और भी बड़ा हो जाएगा। चारों ओर$-1$ दूसरी ओर, आपके पास है $|f(x)+1|<|x+1|$, इसलिए अंतर छोटा होता जा रहा है (यह एक कठोर प्रमाण नहीं है, लेकिन एक सहज ज्ञान युक्त है)।
इस प्रकार, "सबसे" के लिए $x_0$, यह अभिसरण करेगा $-1$। एकमात्र तरीका यह अभिसरण करेगा$-3$ या $1$अगर यह ठीक से पुनरावृत्तियों की संख्या में परिवर्तित होता है। लेकिन इसके लिए सही होने के लिए, इसका समाधान होना चाहिए$$f^n(x_0) = -3$$ (या $1$) कुछ के लिए $n$, जिसका अर्थ है कि यह बीजगणितीय होना चाहिए। इसलिए, सभी पारलौकिक के लिए, सीमा होगी$-1$।