माप सिद्धांत में लगभग हर जगह अभिसरण के बारे में समस्या
मुझे निम्नलिखित समस्या से परेशानी हो रही है
लश्कर $(X, \mathcal{F}, \mu)$ एक माप स्थान जहां $\mu (X)<\infty.$ लश्कर $f,f_n:X \to \mathbb{C}$मापने योग्य हो। सेट$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ कहाँ पे $a_n>0$ तथा $a_n \to 0$। दिखाओ कि अगर$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ फिर $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$
मैं इस समस्या का बहुत प्रयास कर रहा हूं। उदाहरण के लिए, मैंने वह दिखाने की कोशिश की$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ सबके लिए $\varepsilon>0$ तथ्यों का उपयोग करते हुए $\mu(A_n) \to 0$ (क्योंकि श्रृंखला अभिसरण है) और यहां तक कि यह मानते हुए $(a_n)$कड़ाई से लिया जा सकता है। अपने "करीब" प्रयास में मैंने वह कर दिखाया$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ सेट के असीम रूप से निहित है $A_n$। लेकिन अंत में, यह काम नहीं करता है।
मेरे द्वारा किए गए हर प्रयास में, हालांकि "मैं समाधान के बहुत करीब हूँ" ... लेकिन कुछ विफल रहा।
क्या आप मुझे इस समस्या को सुलझाने में मदद कर सकते हैं?
जवाब
पहले यह देखें कि सेट कहां है $f_n$ में नहीं जुटता $f$ औसत दर्जे का है और इसे लिखा जा सकता है $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$
अब ध्यान दें कि दिखा रहा है $f_n\to f$ लगभग हर जगह वह दिखाने के बराबर है $A$ उपाय है $0.$ ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले उसका निरीक्षण करते हैं $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$
जबसे $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ परिमित है, चुनकर $k$ बड़े, हम बना सकते हैं $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$मनमाने ढंग से छोटा। यह इस प्रकार है कि$\mu(A)=0.$