$\mathbb R$ द्वारा उत्पन्न सही टोपोलॉजी के साथ $\tau = \{(a, \infty)\}$ pseudocompact है: * ओपन सेट * के संदर्भ में विरोधाभास द्वारा प्रमाण
मैं साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ वह मूल रूप से है $\mathbb R$ द्वारा उत्पन्न सही टोपोलॉजी से लैस है $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ स्यूडोकोम्पैक्ट (कोई निरंतर कार्य) है $f: X \to \mathbb R$)। यह प्रश्न पहले भी पूछा जा चुका है और इसका उत्तर भी दिया जा चुका है लेकिन यहाँ मैं विशेष रूप से एक प्रमाण के प्रति अपने विशिष्ट दृष्टिकोण की समीक्षा की तलाश में हूँ।
सेवरिन श्रवण का यह जवाब बंद सेटों के संदर्भ में विरोधाभास द्वारा एक सबूत देता है। मैं एक ही प्रमाण खुले सेटों के संदर्भ में करना चाहता हूं, अर्थात, उस संपत्ति का उपयोग करना जो निरंतर कार्यों के तहत खुले सेटों की पूर्ति करता है।
मेरा दृष्टिकोण :
ध्यान दें कि एक खुला सेट अंदर $X$ निम्नलिखित रूपों में से एक है:
$$\emptyset, \quad (-\infty, +\infty), \quad (a, \infty).$$
अब मान लीजिए हम कुछ उठाते हैं $x \in \mathbb R$ और इसके पूरक में असंबद्ध खुले सेट के संघ को देखें $\mathbb R \setminus \{x\}$, अर्थात्, $(-\infty, x)\cup (x, \infty)$। पर मानक टोपोलॉजी में$\mathbb R$सेट करता है $(-\infty, x)$ तथा $(x, \infty)$ निश्चित रूप से खुले और असंतुष्ट दोनों हैं।
हम यह भी जानते हैं कि यह मैपिंग की एक सामान्य संपत्ति है $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$।
इसलिए $$f^{-1}(-\infty, x) \cap f^{-1}(x, \infty) = f^{-1}((-\infty, x) \cap (x, \infty)) = \emptyset.$$
इसका तात्पर्य या तो है $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ या $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$ या दोनों हैं $\emptyset$। वास्तव में, यह साबित करने के लिए$f(X) = x$, अर्थात् $f$ एक निरंतर मानचित्र है, हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि दोनों पूर्व-चित्र खाली हैं, अर्थात $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ साथ ही साथ $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$।
इसके बाद, मैं एक चुनने की सोच रहा था $y \in \mathbb R$ ऐसे और देख रहा है $f^{-1}(\mathbb R \setminus \{y\})$ यह दिखाना कि यह वास्तव में संभव नहीं है $f^{-1}(\mathbb R\setminus \{x\})$कुछ विरोधाभास पैदा करके गैर-खाली होना। वह न तो है$f^{-1}(-\infty, x)$ न $f^{-1}(x, \infty)$कुछ परिणामी विरोधाभास के कारण खाली रहने की अनुमति है। लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इसके बारे में कैसे जाना जाए। क्या यह विरोधाभास द्वारा दिखाया जा सकता है, इसी तरह से सेवेरिन के दृष्टिकोण के लिए?
निश्चित रूप से, निरंतर कार्यों के बारे में कोई भी प्रमाण खुले सेटों के साथ-साथ बंद सेटों के संदर्भ में किया जा सकता है, और इस तरह के प्रमाणों को कुछ अर्थों में "दोहरी" माना जाता है। मैं मूल रूप से खुले सेटों के मामले में सेवेरिन के सबूत के एक संस्करण की तलाश कर रहा हूं ।
जवाब
सही टोपोलॉजी में गुण हैं
- सभी गैर-खाली खुले सेट प्रतिच्छेद करते हैं (एंटी-हॉसडॉर्फ, या हाइपरकनेक्टेड ।
- सभी गैर-खाली बंद सेट प्रतिच्छेदन (या अल्ट्राकनेक्टेड )।
इन दोनों प्रकार के रिक्त स्थान के लिए $X$ हमारे पास वह सब निरंतर है $f: X \to \Bbb R$ स्थिर हैं।
लिंक किए गए उत्तरों में दिए गए सामान्य तर्क 1 पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और ध्यान दें कि यदि $f$ स्थिर नहीं है, दो अलग-अलग मूल्य हैं, जिनके पास खुले पड़ोस हैं $U,V$ में $\Bbb R$। फिर$f^{-1}[U]$ तथा $f^{-1}[V]$ भी असंतुष्ट हैं (सिद्धांत के रूप में, सेट करें) $f^{-1}$ चौराहे को संरक्षित करता है, जैसा कि आप ध्यान दें) और गैर-खाली (जैसे $U$ तथा $V$ के मान सम्मिलित हैं $f$)।
तो उन तर्कों को सामान्यीकृत किया जा सकता है
अगर $f: X \to Y$ हाइपरकनेक्टेड स्पेस से एक निरंतर मानचित्र है $X$ एक हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष के लिए $Y$, $f$ स्थिर है।
सेवेरिन का तर्क थोड़ा अलग है: यह सभी का उपयोग करता है $\{x\}$ में बंद हैं $\Bbb R$बजाय। सभी सेट करता है$f^{-1}[\{x\}]$ अलग के लिए $x$ अपमानजनक, और गैर-खाली iff हैं $x$मान के रूप में होता है। तो उसके तर्क को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है
अगर $f:X \to Y$ अल्ट्राकनेक्टेड से एक निरंतर मानचित्र है $X$ को $T_1$ अंतरिक्ष $Y$, $f$ स्थिर है।
मैं जरूरी इन सबूतों को दोहरी नहीं कहूंगा। इसके लिए हमें सेट का उपयोग करना होगा$\Bbb R\setminus \{x\}$इसके बजाय और परिमित चौराहों के बजाय परिमित यूनियनों का उपयोग करें। एक सामान्य दृष्टिकोण से वे समान प्रमाणों के साथ थोड़े अलग परिणामों के लिए जाते हैं। वास्तविक दोहरी कुछ इस तरह होगा:
मान लीजिए $f: X \to \Bbb R$ निरंतर है और निरंतर नहीं है, और इसमें मूल्य हैं $y_1= f(x_1) \neq f(x_2)= y_2$। फिर$f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}]$ खुला है (निरंतरता), गैर-खाली (जैसा है) $x_2$ इसमें है) और नहीं $X$ (जैसा $x_1$ है नहीं) और इसी तरह के लिए $f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$।
परंतु $$X = f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}] \cup f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$$
और इसलिए हमने लिखा है $\Bbb R$ ऊपरी टोपोलॉजी में दो खुले सेटों के मिलन के रूप में, जिनमें से कोई भी नहीं है $\Bbb R$। ऐसा नहीं हो सकता$(a,\infty) \cup (b, \infty) = (\min(a,b), \infty) \neq \Bbb R$ किसी के लिए $a,b$।
खैर, मुझे लगता है कि घोड़ा अब ठीक है और सही मायने में मर चुका है।