$\mathbb R$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी के साथ $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ सूडोकोम्पैक्ट है

Question

मैं UChicago GRE तैयारी समस्या सेट से निम्नलिखित प्रश्न हल करने का प्रयास कर रहा हूं :

प्रदान करना $\mathbb R$ सही टोपोलॉजी के साथ, द्वारा उत्पन्न $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ और इस स्थान को बुलाओ $X$। निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

(...)

(इ) $X$ स्यूडोकोम्पैक्ट (प्रत्येक निरंतर कार्य है) $f: X \to \mathbb R$ क्या घिरा हुआ है)

प्रति उत्तर कुंजी (E) गलत नहीं है। मैंने पहले pseudocompactness शब्द के बारे में नहीं सुना है, लेकिन मैं परिभाषा से चीजों को काम करने की कोशिश कर रहा हूं। अगर मैं सही ढंग से समझता हूं, तो टोपोलॉजी$\mathcal O_\tau$ आधार द्वारा उत्पन्न $\tau$ है $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$। निरंतर कार्यों की मूल संपत्ति यह है कि प्रत्येक खुले सेट की पूर्व-छवि खुली है। बस इसी का उपयोग करके हम यह कैसे दिखाते हैं$f: X \to \mathbb R$ क्या घिरा हुआ है?

Answer 1

संकेत :$X$एक और भी मजबूत संपत्ति है: हर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (वास्तव में, हॉसडॉर्फ स्पेस में मूल्यों के साथ हर निरंतर फ़ंक्शन) स्थिर है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि हर दो गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय हैं$X$ एक दूसरे को काटना।

Answer 2

मान लीजिए $f:X \to \Bbb R$ निरंतर है, और मान लीजिए $f$स्थिर नहीं थे। इसका मतलब है कि वहाँ हैं$x_1 \neq x_2 \in X$ साथ में $f(x_1) \neq f(x_2)$। मान लीजिए (WLOG) कि$f(x_1) < f(x_2)$ तो खोजो $c\in \Bbb R$ साथ में $f(x_1) < c < f(x_2)$। फिर$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ खुला है और $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ भी खुला है (दोनों की निरंतरता से $f$) तथा $O_1$ तथा $O_2$ इस प्रकार गैर-खाली खुले और अंदर से असंतुष्ट हैं $X$। हालाँकि ऐसा सेट में कभी नहीं होता है$X$ परिभाषा के अनुसार रूप हमेशा से होते हैं $(a, +\infty)$ और इनमें से कोई भी दो प्रतिच्छेदन (उनकी सीमा के अधिकतम बिंदु से बड़ा कोई भी बिंदु प्रतिच्छेदन में है)।

तो कोई निरंतर वास्तविक मूल्य $f$ पर $X$ निरंतर है (इसलिए निश्चित रूप से बाध्य है), इसलिए $X$ सूडोकोम्पैक्ट है।