में शब्द का सूत्र कैसे प्राप्त करें $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $
मैं निम्नलिखित परीक्षा समस्या पर ठोकर खाई
श्रृंखला के अभिसरण का परीक्षण करें:
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!} $$
इसलिए मुझे लगा कि अंक के हर दूसरे कारक को हर कारक के साथ रद्द कर दिया जाएगा और यह वास्तव में सच होगा *
$$\sum_{n=1}^\infty4\cdot10\cdot16\cdot22...$$
इस विशेष मामले में यह पहले से ही स्पष्ट हो सकता है कि श्रृंखला विचलन करती है, लेकिन मैं एक सटीक सूत्र प्राप्त करना चाहता था ताकि मैं उचित मानदंडों / परीक्षण के साथ अभिसरण या विचलन साबित कर सकूं। और यह पता लगाने की कोशिश करने के 10 मिनट बिताने के बाद, मैं निम्नलिखित सूत्र के साथ आया$\ 2(2+3(n+1))=6n-2$। इस विशेष मामले में पता लगाना बहुत आसान हो जाता है अगर मैंने नोटिस किया कि वे संख्या 6 - 2 के गुणक थे।
मेरा प्रश्न यह है कि क्या इन फार्मूलों को अनंत रकम और अनंत उत्पादों से प्राप्त करने का एक ज्ञात तरीका है? या समय और अभ्यास से व्युत्पन्न प्रक्रिया अधिक आसान हो जाती है?
मैं इस सब सामान के लिए बहुत नया हूँ, अगर मैं सवाल के साथ स्पष्ट याद कर रहा हूँ क्षमा करें।
* जैसा कि @ alex.jordan ने टिप्पणियों में बताया है, मैंने वहां एक गलती की और रद्द करने का तरीका मेरे द्वारा बताए गए तरीके से नहीं होगा। फिर भी, यह प्रश्न के सार को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए मैं इसे अभी के लिए छोड़ दूंगा।
जवाब
एक जवाब में एक टिप्पणी धागा मोड़:
स्पष्ट रूप से शर्तों के लिए एक बंद सूत्र खोजने के बिना, आप अभी भी अनुपात परीक्षण लागू कर सकते हैं। सभी शब्द सकारात्मक हैं, इसलिए मैं निरपेक्ष मूल्य का उपयोग करके छोड़ दूंगा जो अनुपात परीक्षण के सामान्य रूप में है।
$$ \begin{align} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{(2(n+1)+1)!!}}{\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}{(2n+1)!!}}\\ &=\frac{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3(n+1)+1)}{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2(n+1)+1)!!}\\ &=\frac{\require{cancel}\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}\cdot(3(n+1)+1)}{\cancel{1\cdot4\cdot \ldots \cdot(3n+1)}}\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)!!}\\ &=(3n+4)\cdot\frac{(2n+1)!!}{(2n+3)\cdot(2n+1)!!}\\ &=\frac{3n+4}{2n+3} \end{align} $$
यह अभिव्यक्ति जाती है $\frac{3}{2}>1$ जैसा $n\to\infty$, इसलिए अनुपात परीक्षण द्वारा, मूल श्रृंखला विचलन करती है।
विचार करें $$a_n=\frac{\prod_{k=0}^n (3k+1) } {(2n+1)!! }\qquad \text{and} \qquad S_p=\sum_{n=1}^p a_n$$ सबसे पहला $S_p$गणना करने के लिए आसान कर रहे हैं; वे अनुक्रम उत्पन्न करते हैं$$\left\{\frac{4}{3},\frac{16}{5},\frac{88}{15},\frac{1312}{135},\frac{2528}{165},\frac {34912}{1485},\frac{31648}{891},\frac{89504}{1683},\frac{1199776}{15147},\frac{5345248}{45441}\right\}$$ जो "लगभग" घातीय है।
संपादित करें
जल्दी या बाद में, आप यह सीखेंगे $$\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n=\, _2F_1\left(1,\frac{4}{3};\frac{3}{2};\frac{3 }{2}x\right)$$ जो गॉसियन हाइपरजोमेट्रिक फंक्शन है जो जाता है $\infty$ कब $x\to \frac 23$ नीचे से।
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{{1\times 4 \times \cdots \times \pars{3n + 1} \over \pars{2n + 1}!!}} = {\prod_{k = 0}^{n}\pars{3k + 1} \over \prod_{k = 0}^{n}\pars{2k + 1}} = {3^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/3} \over 2^{n + 1}\prod_{k = 0}^{n}\pars{k + 1/2}} \\[5mm] = &\ \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{1/3}^{\overline{n + 1}} \over \pars{1/2}^{\overline{n + 1}}} = \pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\Gamma\pars{n + 4/3}/\Gamma\pars{1/3} \over \Gamma\pars{n + 3/2}/\Gamma\pars{1/2}} \\[5mm] = &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\pars{n + 1/3}! \over \pars{n + 1/2}!} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {\root{2\pi}\pars{n + 1/3}^{\ n + 5/6}\expo{-n - 1/3} \over \root{2\pi}\pars{n + 1/2}^{\ n + 1}\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, &\ {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\pars{3 \over 2}^{n + 1}\, {n^{n + 5/6}\,\bracks{1 + \pars{1/3}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/3} \over n^{n + 1}\,\bracks{1 + \pars{1/2}/n}^{\ n}\,\expo{-n - 1/2}} \\[5mm] \stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\sim}\,\,\, & {\root{\pi} \over \Gamma\pars{1/3}}\, {\pars{3/2}^{n + 1} \over n^{1/6}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbx{\large \infty} \\ & \end{align}