नंबर ऑपरेटर और निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के विघटनकारी घातांक
क्या संख्या के योग, विलोपन और निर्माण संचालक के विघटन का एक तरीका है? उदाहरण के लिए,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
कहां है $G$, $A$, तथा $B$ संभवतः सभी तीन मापदंडों के प्रत्येक कार्य हैं $\alpha$, $\beta$, तथा $\gamma$।
जवाब
उत्तर नहीं, लेकिन मूल रूप से ध्वनि दृष्टिकोण पर एक विस्तारित टिप्पणी, क्योंकि टिप्पणी प्रारूप ऐसी विस्तारित टिप्पणियों की अनुमति नहीं देता है। शामिल समूह थरथरानवाला समूह है , और आपको जो 3 डी प्रतिनिधि मिला है, वह एक वफादार है, इसलिए इसके लिए किसी भी समूह का संबंध सामान्य रूप से सार समूह के लिए भी होगा, इसलिए, सभी अभ्यावेदन ! मैं आपके उत्तर Z के आपके केंद्रीय तत्व C को कॉल करूंगा , और यह सभी भावों से बाहर निकल सकता है, जो सब कुछ के साथ आता है।
लाईस प्रमेय द्वारा समर्थित सामान्य कथन यह है कि सभी समूह तत्वों का उत्पाद लाई बीजगणित में सभी जनरेटर के कुछ रैखिक संयोजन के घातांक के करीब होगा , इसलिए, तब,$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$हालांकि, जब से Z सब कुछ के साथ शुरू होता है, हम lhs के पहले कारक को दाईं ओर मोड़ सकते हैं, और इसे एक नए पैरामीटर में शामिल कर सकते हैं$\phi'-\theta=\phi$, ताकि $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ जहां मापदंडों $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ के कार्य होने की गारंटी है $G,A,B$।
अब, पहले तीन जनरेटर की शून्यता से, और चौथे के तिरछे, lhside तुच्छ रूप से मूल्यांकन करता है $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ निर्धारक के साथ $e^{A/2}$।
यह बराबर होना चाहिए $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ इसका निर्धारक है $e^{\alpha/2}$ पहचान के द्वारा $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$।
अब, अपने मापदंडों में दूसरे क्रम पर, इसका विस्तार होता है $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
उपरोक्त आदेश के साथ तुलना करना, दूसरे क्रम पर, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ लेकिन तब आपको एहसास होता है कि ऊपरी-दाहिनी ओर की प्रविष्टि बेमेल है, और इसे गैर-गायब करने की आवश्यकता है $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$सुस्त को उठाने के लिए। इसे देखने के लिए एक व्यक्ति को दूसरे क्रम पर जाना पड़ता है, क्योंकि कम से कम एक कम्यूटेशन की जरूरत होती है$[a,a^\dagger]$ केंद्रीय तत्व का उत्पादन करने के लिए।
तो फिर, $\phi$आपकी संशोधित अभिव्यक्ति में वास्तव में आवश्यक है (*): यह स्वतंत्रता की डिग्री नहीं है जिसे छोड़ा जा सकता है। टिप्पणी को कम करने के लिए समय की कमी के लिए माफी (पास्कल के साथ)।
मुझे लगता है कि मुझे इन दोनों सवालों के जवाबों का उपयोग करते हुए एक विधि मिल गई है:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
एक्सपोनेंशियल ऑपरेटर्स के काम को कैसे नापसंद और फिर से व्यवस्थित करना है?
हम सीढ़ी ऑपरेटरों को निम्नलिखित मैट्रिसेस मैप कर सकते हैं:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
सीढ़ी ए, बी, सी, डी सीढ़ी ऑपरेटरों के कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं। फिर इन मैट्रिसेस और मैच गुणांक का उपयोग करके बाएं हाथ की ओर और दाहिने हाथ की ओर का मूल्यांकन करें। यह काम करने लगता है, लेकिन मैं कुछ पुष्टि करना चाहता हूं कि यह सही दृष्टिकोण है क्योंकि मुझे झूठ अल्जेब्रा के साथ कोई अनुभव नहीं है।