नमूना और पुनर्निर्माण के साथ किनारे का मामला।
मुझे पता है कि मैं पहले, यहाँ और यहाँ इस प्रश्न के आसपास डबिंग कर रहा था , लेकिन क्या किसी के पास अपने बैग में सबसे सरल और संक्षिप्त प्रमाण है:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$
कहां है
$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$
तथा $t\in\mathbb{R}$ तथा $n\in\mathbb{Z}$ ?
मैं दिखा सकता हूं कि दोनों पक्ष एक समान कार्य कर रहे हैं $t$ और दोनों पक्षों ने कब समझौता किया है $t$एक पूर्णांक है। लेकिन सभी वास्तविक के लिए समानता दिखाने का सबसे सरल तरीका क्या है$t$ ?
यह कुछ ऐसा है जिसे मैं निएंडरथल इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों के लिए एक साथ रखना चाहता हूं। (और धन्यवाद।)
जवाब
यह उत्तर मोटे तौर पर इस (बहुत संक्षिप्त) ओपी के संबंधित प्रश्न के उत्तर पर आधारित है ।
के लिए ध्यान दें $t\in\mathbb{Z}$समानता दिखाने के लिए सीधा है। दिलचस्प मामला यह है कि$t$पूर्णांक नहीं है। नीचे दी गई व्युत्पत्ति गैर-पूर्णांक वास्तविक मानों के लिए मान्य है$t$।
का उपयोग कर $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ हम लिख सकते है
$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$
अब हमें निम्नलिखित परिणाम चाहिए:
$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$
जो यहाँ , यहाँ और यहाँ पाया जा सकता है , और जिसे sinc फ़ंक्शन के प्रसिद्ध अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व से प्राप्त किया जा सकता है
$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$
मिलाना $(1)$ तथा $(2)$ वांछित परिणाम देता है।
आपको इस बात से थोड़ा सावधान रहना चाहिए कि आप योग को कैसे समझते हैं लेकिन, यह मानते हुए कि आप समझते हैं $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ यह सीमा के रूप में है $N\to\infty$ का $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (सेसरो योग, जो सामान्य रूप से वही परिणाम देता है जब उत्तरार्द्ध समझ में आता है), आप बस लिख सकते हैं $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ इसलिए सेसरो आंशिक रकम बन जाता है $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ कहां है $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$है फ़ेजेर गिरी । अब आप जो जानना चाहते हैं, वह यह है$K_N$ सममित, गैर-नकारात्मक है, $1$-ऑपरियोडिक, कुल अभिन्न अंग है $1$ अवधि और समान रूप से करने के लिए जाता है $0$पूर्णांक के एक छोटे से पड़ोस के बाहर। तो, बड़े के लिए$N$, $K_N(x+\frac 12)$ एक फ़ंक्शन है जो लगभग है $0$ पर $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ किसी भी निश्चित के लिए $\delta>0$ और लगभग अभिन्न है $\frac 12$ प्रत्येक अंतराल पर $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ तथा $[\frac 12-\delta,\frac 12]$। जब आप किसी भी चीज़ को उस तरह से एकीकृत करते हैं$e^{2\pi i xt}$ ऊपर $[-\frac 12,\frac 12]$, आप लगभग मिल जाएगा $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$।
इस तर्क में एकमात्र गैर-पैदल चलने वाला कदम सामान्य योग से सेसरो एक पर स्विच कर रहा है। आप इसे टाल सकते हैं, लेकिन फिर आपको इसके बजाय डिरिक्लेट कर्नेल मिलेगा और सीमा तक अंतिम मार्ग कुछ कम स्पष्ट होगा (कर्नेल अंतराल के थोक में समान रूप से क्षय नहीं करेगा, लेकिन इसके बजाय यह तेजी से और तेजी से दोलन करेगा और आप यह बताने के लिए कि आप को केवल (छोटे से पड़ोस) एंडपॉइंट्स को देखने की आवश्यकता है, यह दिखाने के लिए रिमान-लेब्सग की लेम्मा जैसी किसी चीज़ का उपयोग करना समाप्त होगा।