निरंतरता से संबंधित एक प्रमाण को समझना

Question

लगता है कि $f:X\to \mathbb{R}$ के साथ कुछ निरंतर कार्य है $f(y)>0$ कुछ के लिए $y\in X$। मैं एक प्रमाण में पढ़ता हूं जो कहता है

जबसे $f$ निरंतर है, एक खुला पड़ोस हैं $U$ का $y$ और एक $\delta>0$ ऐसा है कि $f(x)\geq \delta$ के लिये $x\in X$।

मुझे समझ में नहीं आता कि वे क्यों मौजूद हैं, क्या आप बता सकते हैं कि क्या चल रहा था? जिस तरह से मैं लगभग समझता हूं:

1. जबसे $f$ निरंतर है, खुला सेट मौजूद है $U$ युक्त $y$ ऐसा है कि $f(x)>0$ सबके लिए $x\in U$। मैं यह नहीं देख सकता कि यह निरंतरता की परिभाषा तक कैसे पहुंचता है ...

2. जबसे $f>0$ पर $U$ 1), हम चुनते हैं $\delta>0$ इतना छोटा कि $f(x)\geq \delta$ सबके लिए $x\in U$। क्या यह अनुमति है? यदि हां, तो क्यों?

Answer 1

लेना $\delta = \frac{f(y)}{2}$। फिर$(\delta, \infty)$एक खुला सेट है। निरंतरता की परिभाषा के द्वारा (सामान्य सामयिक स्थान के लिए),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$यह खुला है। और स्पष्ट रूप से परिभाषा से,$y \in U$ जबसे $f(y) > f(y) / 2 = \delta$। और सभी के लिए$x \in U$, अपने पास $f(x) > \delta$ और इस तरह $f(x) \geq \delta$।