निर्भर यादृच्छिक चर का स्वतंत्र नमूना
लश्कर $x_1, \ldots, x_n$संभवतया रैंडम वैरिएबल पर निर्भर हो , प्रत्येक मान ले रहा है$x_i \in \{0, 1, 2\}$। आगे मान लीजिए कि हर परिणाम में 2 के बराबर यादृच्छिक चर की संख्या ठीक 1 है। अब प्रत्येक के लिए$i \in \{1, \ldots, n\}$ परिभाषित $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ और प्रत्येक के लिए $i \in \{1, \ldots, n\}$ लश्कर $y_i$ एक बर्नौली यादृच्छिक चर हो जो संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से 1 है $f_i$ और 0 अन्यथा।
क्या निम्नलिखित अनुमान सही है या इस पर कोई वितरण है $x_i$इसका खंडन कर रहा हूँ?
अनुमान: एक निश्चित है$\epsilon > 0$ (अर्थात $\epsilon$ से स्वतंत्र होना $n$) कम से कम संभावना के साथ ऐसा है $\epsilon$, बिल्कुल एक सूचकांक है $i$ कहाँ पे $y_i = 1$।
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जवाब
उत्तर "नहीं" है (यदि मैं प्रश्न को सही ढंग से समझता हूं)।
निम्नलिखित एक्सचेंज के संयुक्त वितरण पर विचार करें $x_i$एस घटना में$A$, जो संभाव्य के साथ होता है $1/\sqrt n$, सब $x_i$s 1 हैं, एक के लिए बाहर निकलें। पूरक घटना में $B$, सब $x_i$s एक 2 के लिए 0 exept हैं।
इस वितरण के तहत, $f_i$ या तो 0 है या $1/\sqrt n$। लश्कर$Y=\sum y_i$। जबसे$E[ Y|A]=\sqrt n$, तथा $E[Y|B]=1/\sqrt n$, किसी भी घटना में यह 1 से बहुत दूर है; इसलिए संभावना है कि वहाँ एक सकारात्मक है$b_i$ लुप्त हो रहा है।