निर्भर यादृच्छिक चर की राशि के विचरण पर सीमाएं
लश्कर $x_1, \ldots, x_n$संभवतया रैंडम वैरिएबल पर निर्भर हो , प्रत्येक मान ले रहा है$x_i \in \{0, 1, 2\}$। आगे मान लीजिए कि हर परिणाम में 2 के बराबर यादृच्छिक चर की संख्या ठीक 1 है। अब प्रत्येक के लिए$i \in \{1, \ldots, n\}$ परिभाषित $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ और जाने $ f = \sum_i f_i. $
मेरा सवाल यह है कि विचरण कितना बड़ा हो सकता है $f$हो सकता है? मेरा अनुमान है कि हम इसे बाध्य कर सकते हैं$O(1)$ लेकिन यह कैसे साबित करने के लिए पता नहीं है।
नोट: यदि यह मदद करता है, तो यह साबित करना आसान है $E[f] = 1$: $$ E[f] = \sum_i E[f_i] = \sum_i \Pr[x_i \geq 1] \times \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] = \sum_i \Pr[x_i = 2] = 1, $$ जहां अंतिम समानता हमारी प्रारंभिक धारणा से आती है कि सभी परिणामों में से एक बिल्कुल $x_i$2 के बराबर है।
जवाब
$Var\,f$ के आदेश पर हो सकता है $n$ (लेकिन इससे अधिक नहीं)।
वास्तव में, चलो $U$ तथा $N$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर जैसे कि $P(U=1)=:p=1-P(U=0)=:q$ तथा $P(N=i)=1/n$ सबके लिए $i\in[n]:=\{1,\dots,n\}$। लश्कर$$x_i:=1(U=1,N\ne i)+2\times1(N=i). $$ फिर साथ में $p=1/n$ $$Var\,f\sim n/4\tag{1}$$ (जैसा $n\to\infty$)।
दूसरी ओर, $$Var\,f\le Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j\le\sum_{i,j\in[n]}Ef_i =n\sum_{i\in[n]}Ef_i=n.$$
(1) पर विवरण: हमारे पास है $$Ef^2=\sum_{i,j\in[n]}Ef_if_j \\ =\sum_{i,j\in[n]}P(x_i=2|x_i\ge1)P(x_j=2|x_j\ge1) P(x_i\ge1,x_j\ge1),\tag{2}$$ $$P(x_i\ge1)=1-P(x_i=0)=1-P(U=0)P(N\ne i)=1-q(1-1/n)=p+q/n,$$ $$P(x_i=2)=P(N=i)=1/n,$$ $$P(x_i=2|x_i\ge1)=\frac{P(x_i=2)}{P(x_i\ge1)}=\frac{1/n}{p+q/n},$$ तथा $$P(x_i\ge1,x_j\ge1)=1-P(x_i=0\text{ or }x_j=0)=1-P(x_i=0)-P(x_j=0)+P(x_i=0,x_j=0) =1-2q(1-1/n)+q(1-2/n)=1-q=p$$ के लिये $i\ne j$। अब चुनना$p=1/n$, हमारे पास है
$$Ef^2\sim n/4.$$ जबसे $Ef=1$, (1) अब इस प्रकार है।
(2) को देखते हुए, अब निर्माण के पीछे का विचार पारदर्शी होना चाहिए: हम बनाना चाहते हैं $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$ के लिये $i\ne j$ से बहुत अधिक $P(x_i\ge1)P(x_j\ge1)$ और एक ही समय में बनाने के लिए नहीं $P(x_i\ge1,x_j\ge1)$बहुत छोटा। विकल्प$p=1/n$ इस संबंध में लगभग इष्टतम है।