निर्धारक और ट्रेस दिए गए 3x3 मैट्रिक्स के प्रतिजन का पता लगाना

Question

मान लीजिए ए $3×3$मैट्रिक्स ए में केवल दो अलग-अलग आइजनवल हैं। लगता है कि$\operatorname{tr}(A)=−1$ तथा $\det(A)=45$। के स्वदेशी खोजें$A$।

मैंने ट्रेस और निर्धारक (ट्रेस = ए + डी और डिटेल = एड-बीसी) के गुणों का उपयोग करके 2x2 मैट्रिक्स के साथ एक समान समस्या हल की है। मैंने 3x3 मैट्रिक्स के लिए एक ही दृष्टिकोण को बिना किसी सफलता के लेने की कोशिश की, क्योंकि विशेषता बहुपद व्यक्त करना अधिक जटिल है। क्या कोई और तरीका है जो मैं ले सकता हूं?

Answer 1

मान लीजिए कि आपके आइजनवेल्स हैं $x$ तथा $y$। आपका मैट्रिक्स$A$ एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान है $B$जो इसके विकर्ण पर eigenvalues ​​है।
अब, समान मैट्रिक्स में समान निर्धारक और समान निशान होते हैं, इस प्रकार हम निम्नलिखित समीकरणों को प्राप्त कर सकते हैं:$$2x+y = -1$$ $$x^2y=45$$पहला एक विकर्ण का योग है (हम जानते हैं कि 2 अनोखे स्वदेशी हैं, इस प्रकार, उनमें से एक विकर्ण पर 2 बार दिखाई देगा)।
दूसरा एक विकर्ण (विकर्ण मैट्रिक्स का निर्धारक) का उत्पाद है।
$$... y=\frac{45}{x^2}$$ $$... x=-3 \space\space\space$$

अगर $x=-3 => y=5$
$x^2y=45$ तथा $2x+y=-1$। और यह हमारा जवाब है :)

Answer 2

एक मैट्रिक्स है $A$ उस $$ \sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \quad \prod_i \lambda_i = \det(A) $$ चूँकि आपके पास दो बार एक आइगेनवैल्यू है (मुझे लगता है $\lambda_1$) इसका परिणाम यह होगा: $$ 2 \lambda_1 + \lambda_2 = -1, \quad \lambda_1^2 \cdot \lambda_2 = 45 $$

// संपादित करें: सही परिणाम: आप इसे हल कर सकते हैं और इसे प्राप्त कर सकते हैं:

$\lambda_1 = -3, \quad \lambda_2 = 5$