ODE के लिए समाधान का अस्तित्व साबित करना $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$

Question

चलो $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ के साथ दो बार भिन्न होना $f'' > 0$, और जाने $u_- > u_+$वास्तविक संख्या हो। दिखाएँ कि एक समाधान मौजूद है$\varphi(x)$ निम्नलिखित अंतर समीकरण के लिए: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ ऐसा है कि $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, और कहाँ $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$।

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मेरा प्रारंभिक प्रयास यह देखना है कि इस DE को निम्न में एकीकृत किया जा सकता है: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ इस प्रकार, यह इस DE के लिए एक समाधान के अस्तित्व को दिखाने के लिए पर्याप्त है, जहां हम चुनने के लिए स्वतंत्र हैं $C$। मैंने LHS पर RHS लाने का प्रयास किया, जो देता है:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ कहाँ पे $D \in \Bbb{R}$। इस प्रकार, यदि हम परिभाषित करते हैं:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ और यह मानते हुए $g$ उलटा है, फिर $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ का समाधान होगा $(2)$। हालाँकि, इस दृष्टिकोण में कुछ समस्याएं हैं जिनसे हमें निपटने की आवश्यकता है:

1. अभिन्न को इससे कोई मतलब नहीं होगा $f(\varphi) - s\varphi + C$ कुछ बिंदु पर गायब हो जाता है $\Bbb{R}$। जैसा कि हम चुनने के लिए स्वतंत्र हैं$C$, अगर हम ऐसा दिखा सकते हैं $f(\varphi) - s\varphi$ ऊपर या नीचे से घिरा है, तो इस तरह के एक विकल्प है $C$मौजूद रहेगा। मुझे संदेह है कि हम उत्तलता और परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं$s$ यह साबित करने के लिए, लेकिन मेरी कोशिशें अब तक बेकार हैं।
2. अभिन्न बनाना चाहिए, एक और समस्या है अगर $g$उलटा है। हालांकि, यह एफटीओसी के अनुसार एक मुद्दा नहीं होना चाहिए:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ इसलिए यदि भाजक गायब न हो, $g'$ निरंतर है और इसलिए सख्ती से सकारात्मक या नकारात्मक होना चाहिए, इसलिए $g$ सख्ती से एकरस है, इस प्रकार उलटा है।
3. यहां सबसे बड़ा मुद्दा यह है कि यह परिभाषा आवश्यकता की गारंटी नहीं देती है $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$। मैंने इस शर्त को फिट करने के लिए अभिन्न रूप से हेरफेर करने की कोशिश की, लेकिन अब तक कोई फायदा नहीं हुआ।

मैंने अन्य तरीकों की भी कोशिश की, जैसे कि पिकार्ड के पुनरावृत्ति का उपयोग करना, लेकिन जैसा कि यह समस्या वास्तव में आईवीपी नहीं है, वे सफल नहीं हुए हैं।

किसी भी मदद की सराहना की है।

Answer 1

सीमा का उपयोग करना $\pm\infty$, हम ढूंढे $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$देखने के इस अभ्यास इवांस PDE में। सख्त उत्तलता की$\varphi\mapsto \varphi'$ सख्त उत्तलता से इस प्रकार है $f''>0$ का $f$। यह गुण पैदावार देता है$\varphi' < 0$ के लिये $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$। इसलिए,$\varphi$ एक चिकना घटता कार्य है, जो इससे घटता है $u_-$ सेवा मेरे $u_+$। संतुलन की स्थिरता की जांच करने के लिए$\varphi = u_\pm$, हम व्युत्पन्न के संकेत की गणना करते हैं $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ संतुलन पर, जो नकारात्मक है $\varphi = u_+$ और सकारात्मक $\varphi = u_-$सख्त उत्तलता के कारण। इसलिए,$u_+$ एक आकर्षक संतुलन है और $u_-$एक प्रतिकारक संतुलन है। चूंकि आर.एस. उपरोक्त अंतर समीकरण गैर-एकवचन है और इसमें अतिरिक्त जड़ें नहीं हैं, कोई भी बंधा हुआ समाधान आवश्यक रूप से दोनों मूल्यों को जोड़ देगा$u_\pm$ एक सुचारू रूप से घटते कार्य के माध्यम से $\varphi$। में अभिन्न$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ सीमा पर एकवचन है $\varphi = u_\pm$। इस अनुचित अभिन्नता का अभिसरण सीमा पर उसके विषम व्यवहार से होता है।