ऑर्डर 90 के समूह में ऑर्डर 10 का उपसमूह शामिल है
मैं यह साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि अगर $G$ आदेश का एक समूह है $90$, तो इसमें ऑर्डर का एक उपसमूह शामिल है $10$। अभी तक मेरे पास इतना ही है:
“का मुख्य कारक है $90$ है $3^2 \cdot 2 \cdot 5$। पहले सिल्लो प्रमेय द्वारा, सिलो$p$-subgroups मौजूद हैं, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक Sylow है $2$-सुबग्रुप, कहना $P$ और कम से कम एक सिलो है $5$-सुबग्रुप, कहना $Q$। इसके अतिरिक्त, सिलो$p$-सुबग्रुप्स तुच्छ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, जिसका अर्थ है $|P \cap Q|=1$।
इसलिए, हमारे पास है$|PQ|=\frac{|P||Q|}{|P \cap Q|}=\frac{2 \cdot 5}{1}=10$।
इसलिए,$G$ एक उपसमूह होता है $PQ$ आदेश का $10$, जैसा कि दिखाया जाना था। ”
क्या यह सही है?
जवाब
जबकि मैं दूसरे पोस्टर की दृढ़ता की प्रशंसा करता हूं, यहां एक तेज़ तरीका है।
लगता है कि $n_5=6$। फिर$G$ छह सिल्लो पर कार्य करता है $5$-सुबग्रुप्स। जैसा$|N_G(P)|=15$, और यह महत्वपूर्ण बिट, आदेश का कोई तत्व नहीं है$2$ किसी भी सिलो को सामान्य कर सकते हैं $5$-सुबग्रुप । इस प्रकार आदेश के एक तत्व की क्रमपरिवर्तन क्रिया$2$ होना चाहिए (लेबलिंग तक) $(1,2)(3,4)(5,6)$, एक अजीब क्रमचय। चलो$H$ उन तत्वों का समूह हो जो सिलो पर एक क्रमपरिवर्तन उत्पन्न करते हैं $5$-सुबग्रुप्स। फिर$|G:H|=2$, और इस प्रकार आदेश के सभी तत्व $5$ रिहायश $H$। सिल्लो के प्रमेय द्वारा,$n_5=1$ के लिये $H$ (कोई अन्य विकल्प नहीं है), और इसलिए $n_5=1$ के लिये $G$, एक विरोधाभास।
डेविड ए। क्रेवेन की टिप्पणी के बाद मेरे अधिक कठोर सबूत पर:
यहां आप एक प्रमाण पा सकते हैं कि ऑर्डर 4n + 2 के एक समूह में इंडेक्स 2 का एक (सामान्य) सबग्रुप है , जो केली के प्रमेय से थोड़ा अधिक का उपयोग करके डिग्री 4n + 2 के सममित समूह में बदल जाता है। अभी$90=4\cdot 22+2$ इस रूप का है, इसलिए एक समूह है $G$ ऑर्डर 90 के पास हमेशा सूचकांक 2 का एक उपसमूह होता है। इसलिए हमारे पास एक सामान्य उपसमूह है $H$ आदेश 45 के, और हर सिल्लो 5-उपसमूह $G$ एक सिल्लो 5-उपसमूह है $H$और इसके विपरीत। लेकिन सिलो थ्योरम के एक आसान अनुप्रयोग से पता चलता है कि ऑर्डर 45 के एक समूह में हमेशा एक सामान्य सिल्लो 5-उपसमूह होता है, इसलिए$G$ एक अद्वितीय और इसलिए सामान्य सिलो 5-उपसमूह होना चाहिए।
आपका तर्क तब होता है, जब आपका उत्पाद वास्तव में उपसमूह को परिभाषित करता है।
जैसा कि टिप्पणियों में कहा गया है, आपका प्रमाण निर्भर करता है $PQ$एक उपसमूह होने के नाते, जो सामान्य रूप से सच होने की आवश्यकता नहीं है। यदि एक दूसरे को सामान्य करता है ($P\subseteq N_G(Q)$ या $Q\subseteq N_G(P)$) तो यह काम करता है और $PQ$एक समूह है। यह निश्चित रूप से मामला है अगर उनमें से एक वास्तव में सामान्य है$G$। लेकिन आपने ऐसा नहीं दिखाया है$PQ$एक उपसमूह है, इसलिए आपका प्रमाण सबसे अच्छा अधूरा है। आशा है कि साबित होगा$Q$जरूरी सामान्य है। यह सच हो जाता है, हालांकि यह कंप्यूटर के बजाय इसे अमूर्त साबित करता है, बल्कि अश्लील है। प्रमाण अंततः समस्या को विवश करने के लिए सबसे पहले गिनती करने वाले तत्वों में से एक है, और फिर विभिन्न तरीकों से विचार करने के लिए उपकुंजियों का एक गुच्छा।
अंत में, मैं इससे थोड़ा कम साबित करूंगा कि सिल्लो 5-सबग्रुप सामान्य है, एक बार रुकने के बाद हमारे पास या तो एक सामान्य साइलो 2-सबग्रुप, एक सामान्य सिल्लो 5-सबग्रुप, या ऑर्डर 10 के एक उपसमूह का निर्माण किया है, या व्यवस्था को सिद्ध किया है। सवाल असंभव है इसलिए इसे बाहर रखा जा सकता है।
सिलो की संख्या पर विचार करें $5$-सुबग्रुप्स, निरूपित $n_5$। सिल्लो प्रमेयों द्वारा,$n_5\equiv 1\bmod 5$ तथा $n_5$ बांटता है $2\cdot 3^2=18$। इस प्रकार या तो$n_5=1$ या $n_5=6$। अगर$n_5=1$ तो आपका $Q$ वास्तव में सामान्य है और इसलिए आपका $PQ$आदेश 10 का उपसमूह है, और हम कर रहे हैं। लेकिन मामले में क्या करना है$n_5=6$? अंततः यह असंभव है, लेकिन हम दिखाएंगे कि कैसे हम हमेशा आदेश 10 के एक उपसमूह को प्रदर्शित कर सकते हैं किसी भी मामले में हम एक विरोधाभास प्राप्त नहीं कर सकते।
तो मान लीजिए $n_5=6$। संयुग्मन क्रिया 6 एसाइलो 5-उपसमूहों को संक्रमणीय रूप से पारगमन करती है। कक्षा-स्टेबलाइज़र प्रमेय, या सिल्लो प्रमेयों में से एक को लागू करने से जो कि केवल एक विशेष मामला है, हमारे पास है$[G:N_G(Q)]=n_5=6$, ताकि $N_G(Q)$ क्रम 15 और सूचकांक 6 का उपसमूह है $G$। ध्यान दें कि क्रम 15 का प्रत्येक समूह चक्रीय है।
अब के अलग अलग conjugates $Q$ के बाद से अलग normalizers है $N_G(tQt^{-1})=t N_G(Q) t^{-1}$ सबके लिए $t\in G$ (वे गैर-तुच्छता से अंतर कर सकते हैं, लेकिन समान नहीं हो सकते हैं), इसलिए कोई भी दो ऐसे सामान्यीकरण आदेश 15 का तत्व साझा नहीं करते हैं। जैसा कि क्रम 15 के चक्रीय समूह में क्रम 15 के ठीक 8 तत्व होते हैं, संयुग्मों के संयुग्मक। $Q$ आदेश 15 में कुल 48 तत्वों की उपज $G$।
चूँकि सिल्लो 5-उपसमूह क्रम 5 के चक्रीय हैं, और क्रम 5 के ठीक 4 तत्व हैं, हमारे पास क्रम 5 के कुल 24 तत्व हैं $G$।
संयुक्त, हम 72 गैर-पहचान तत्वों के लिए जिम्मेदार हैं $G$जिनमें से कोई भी आदेश (विभाज्य द्वारा) 2 है।
अब हम आदेश 2 के तत्वों की संख्या पर विचार करते हैं। चूँकि Sylow 2-उपसमूह क्रम 2 का चक्रीय है, यह ठीक Sylow 2-उपसमूहों की संख्या है $G$, निरूपित $n_2$। सिल्लो प्रमेयों द्वारा, हमारे पास वह है$n_2\in\{1,3,5,9,15,45\}$, 90 के विषम भाजक। हमारा उद्देश्य यह दिखाना है कि प्रत्येक मामले में हमारे पास या तो एक विरोधाभास है, या आदेश 10 के समूह को प्रदर्शित कर सकता है। यह तब आपके वांछित परिणाम को स्थापित करता है।
ठीक कर $P\in\operatorname{Syl}_2(G)$।
हम पहले दावा करते हैं कि $n_2=[G:N_G(P)]$ 5 से विभाज्य है, ताकि $n_2\in\{5,15,45\}$; इसे अनदेखा करना और अभी भी के अन्य मूल्यों को संभालना संभव है$n_2$रिश्तेदार आसानी के साथ, लेकिन यह एक सुविधाजनक कमी है। यह देखने के लिए, ध्यान दें कि कब से$P=\langle\,y\,\rangle$ क्रम 2 का चक्रीय है, तो वास्तव में $N_G(P)=C_G(y)$। अगर$N_G(P)$ आदेश 5 से विभाज्य था, इसमें क्रम 5 का एक तत्व होगा, जिसका अर्थ है कि $y$ आदेश का एक तत्व केंद्रीकृत करता है 5. इस प्रकार $y$ कुछ Sylow 5-उपसमूह को सामान्य करता है, लेकिन हमारी धारणा है कि $n_5=6$तात्पर्य यह है कि सिल्लो 5-उपसमूह के सामान्यक में विषम क्रम होता है। इस प्रकार$n_2$ वांछित के रूप में 5 से विभाज्य है।
अगर $n_2=45$ फिर हमने हिसाब लगाया है $72+45>90$ में गैर-पहचान तत्व $G$, जो असंभव है। इसलिए$n_2\neq 45$।
अगर $n_2=15$, तो हम के लिए जिम्मेदार है $72+15=88$गैर-पहचान तत्व, सिलो 3-उपसमूह के लिए अधिकांश 3 गैर-पहचान तत्वों को छोड़कर। लेकिन चूंकि ऐसे उपसमूह में ठीक 9 तत्व हैं, इसलिए यह भी असंभव है। इसलिए$n_2\neq 15$।
अन्त में, हमें मामले पर विचार करना चाहिए $n_2=5$। यह बताता है कि$|N_G(P)|=18$। सिल्लो 2-उपसमूहों पर संयुग्मन क्रिया हमें एक समूह समरूपता प्रदान करती है$\phi\colon G\to S_5$। यह समरूपता केवल तभी तुच्छ होगी$P$सामान्य था, जिसे हमने मान लिया है, ऐसा नहीं है। यह भी इंजेक्ट नहीं किया जा सकता है क्योंकि 90 विभाजित नहीं करता है$|S_5|=120$। वास्तव में$9$ बंटता नहीं है $120$, इसलिए कर्नेल को 3. से विभाज्य क्रम होना चाहिए क्योंकि हमारे पास भी होना चाहिए $\ker(\phi)\subseteq N_G(P)$, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $\ker(\phi)$ में आदेश दिया है $\{3,6,9\}$ और कि $\phi(G)$ एक चक्रीय उपसमूह होता है $C$ आदेश के 5।
हम दावा करते हैं कि यदि हम जानते हैं कि ऑर्डर 30 के समूह के पास ऑर्डर 10 का उपसमूह है, तो हम मामले से बचे हुए हैं $|\ker(\phi)|=9$।
तो आइए देखते हैं कि ऑर्डर 30 का व्यवसाय कहां आता है $\ker(\phi)$ आदेश 6 तो है $\phi^{-1}(C)$ आदेश 30 है। यदि $\ker(\phi)$ आदेश 3 है, फिर $\phi(G)$ आदेश 30 है। यदि $H$ तब आदेश 10 में उपसमूह है $\phi(G)$, तब फिर $\phi^{-1}(H)$ आदेश 30 का उपसमूह है। यह दावा स्थापित करता है।
आदेश 30 के समूह आदेश 10 के उपसमूह को स्वीकार करते हैं, इसे अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है। आप पहले की तरह ही ज्यादा से ज्यादा कोशिश कर सकते हैं: यदि सिल्लो 5-उपसमूह सामान्य नहीं है, तो उनमें से 6 हैं, क्रम 5 के 24 तत्व, आदि (या मेरे अन्य उत्तर में इस पूरी समस्या का बहुत आसान प्रमाण देखें डेविड ए। क्रेवेन ने कहा, और उसी तर्क को लागू करें)
इससे केस छूट जाता है $|\ker(\phi)|=9$ (तथा $n_2=5$) विचार करने के लिए केवल एक ही बचा है। फिर$\phi(G)$ आदेश 10 है, लेकिन यह एक भागफल समूह है $G$, और उपसमूह का उत्पादन नहीं करता है $G$पहले जैसा। परंतु$\phi(G)$ जरूरी चक्रीय है, इसलिए $C$ में सामान्य है $\phi(G)$, इसलिए $\phi^{-1}(C)=L$ क्रम 45 में एक सामान्य उपसमूह है $G$।
आदेश के विचार से, एक सिलो 5-उपसमूह $L$ एक सिल्लो 5-उपसमूह है $G$। वास्तव में, जब से$L$ सामान्य है और संयुग्मन क्रिया Sylow 5-उपसमूहों पर सकर्मक है, $\operatorname{Syl}_5(G)=\operatorname{Syl}_5(L)$। हम दावा करते हैं कि वास्तव में आदेश 45 के समूह में हमेशा एक सामान्य सिलो 5-उपसमूह होता है, जो हमें एक विरोधाभास देता है, और लंबे समय तक सभी मामलों को पूरा करता है और यह साबित करता है कि$G$ आदेश 10 का उपसमूह है।
तो, आदेश 45 के समूह को साबित करने के लिए कैसे एक सामान्य सिलो 5-उपसमूह है? ठीक है, वह है, लंबे समय तक, आसान! सिल्लो प्रमेयों द्वारा, ऐसे समूह के सिल्लो 5-उपसमूहों की संख्या 5 है और विभाजित होती है 9. केवल संभावना इसलिए 1 है।
QED