पानी में एक पॉलीटॉप को कम करें $-$ तल पर उन लोगों से जुड़े जल स्तर पर कोने हैं?
मान लीजिए हम एक उत्तल पॉलीओप लेते हैं$P$ और एक चेहरा $A$ कोने के साथ $a_1,\ldots, a_n$। हम पॉलीटॉप को पकड़ते हैं$A$ सतह के साथ फ्लश और धीरे-धीरे इसे कम करते हुए, रखते हुए $A$हालांकि सतह के समानांतर। हम तब तक कम करते रहते हैं जब तक कि पानी का स्तर कुछ शीर्ष पर नहीं पहुंच जाता$b_1$ से संबंधित नहीं है $A$। तो करने दें$b_1,\ldots, b_m$जल स्तर पर सभी कोने हों। मैं सोचता हूं:
हर है $b_i$ एक किनारे से कुछ में शामिल हो गए $a_i$?
शारीरिक रूप से स्पष्ट लगता है। लेकिन इसलिए बहुपत्नीत्व के बारे में कई तथ्य हैं, जैसे कि रैखिक-असमानताएं / उत्तल-पतवार परिभाषाएं समतुल्य हैं।
यदि आप जल स्तर और उसके द्वारा फैलाए गए समतल के बीच पॉलीटॉप के भाग पर विचार करते हैं $A$ आपको एक छोटा पॉलीटॉप मिलता है $Q$। यह$Q$ सब है $a_i,b_j$ कोने के रूप में लेकिन अतिरिक्त कोने बनाए जा सकते हैं जब के किनारों $A$पानी से गुजरें। फिर भी सभी कोने दो विमानों में से एक में समाहित हैं। यह निम्नलिखित शायद आसान सवाल का सुझाव देता है।
मान लीजिए $P_1,P_2$ दो समानांतर विमान हैं, और $P$ एक बहुवचन है जिसका प्रत्येक शीर्ष या तो है $P_1$ या $P_2$। में प्रत्येक शीर्ष है$P_1$ एक किनारे से एक शीर्ष पर शामिल हो गए $P_2$?
जवाब
आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर हां है (और इसलिए पहले का उत्तर है)।
सामान्य तौर पर, (पूर्ण-आयामी) पॉलीटोप के प्रत्येक शीर्ष के लिए $P\subset\Bbb R^d$किनारों की उस घटना की दिशा उस शिखर पर पूरी तरह से फैली हुई है $\Bbb R^d$।
यदि एक शीर्ष में $P_1$ किनारों को केवल अन्य कोने में होगा $P_1$, तब अवधि आयाम का होगा $\le \dim(P_1)= d-1$, इसलिए, सभी नहीं $\Bbb R^d$।