पता लगाना $n$ तथा $d$ ताकि $U_d(n)$ सेट दिया जाएगा।
यह किसी भी तरह से संबंधित एक पोस्ट है जिसे मैंने पहले पोस्ट किया था । इस पोस्ट में समस्या को इतनी अच्छी तरह से हल किया गया है, हालांकि, मैं इस मौजूदा स्थिति में एक ही विचार का उपयोग करने में असमर्थ हूं।
मान लीजिए $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है और $d$इसका सकारात्मक विभाजक है अगर$U(n)$ से कम या बराबर सभी सकारात्मक पूर्णांकों का संग्रह हो $n$ और करने के लिए मुकाबला $n$ तथा $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ कैसे ढूंढें $n,d$ ऐसा है कि $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ धारण करेगा?
यहाँ स्पष्ट रूप से $d$ के gcd का भाजक है $1-1,13-1,25-1,37-1$ अर्थात $12$। इसलिए$d=1,2,3,4,6,12$। कैसे दिखाना है?$d$ है $12$केवल? उपरोक्त समस्या में केवल 1 और 7 के दो मूल्य थे। हालांकि यहां हमें समग्र विभाजक भी मिल रहे हैं।
एक बार हम दिखाते हैं कि, कैसे खोजना है $n$ फिर?
मूल रूप से क्या मैं एक सामान्य दृष्टिकोण के लिए खोज रहा हूँ अगर कोई हो। किसी ने मुझे इस पर मदद कर सकते हैं, कृपया?
पोस्ट का काम
संकेत और सुझाव प्राप्त करने के बाद (एरिक वोंग और सीजीएस दोनों के लिए धन्यवाद) मैं इस समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा हूं जितना मैं कर सकता हूं।
एरिक के जवाब से, अब मैं समझता हूं कि क्यों $d=12$केवल। इसलिये$U_d(n)$ अब बन जाता है $U_{12}(n)$। इसके अलावा,$12$ बांटना चाहिए $n$ तथा $n>37$ और के प्रत्येक सदस्य $U_{12}(n)$ फॉर्म का होना चाहिए $12k+1$। तथापि$25\in U_{12}(n)$ जिसका मतलब है $25\in U(n)$ इसलिए $(25,n)=1$ जिसका अर्थ $(5,n)=1$। इस प्रकार$n$ 5 मुक्त होना चाहिए।
हम तब विचार करते हैं, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ कहाँ पे $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ साथ में $(2.3.5, m)=1$। फिर$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ आईएफएफ $(12, \frac{n}{12})=1$। इससे पता चलता है कि$a_1-2=0, a_2-1=0$ अर्थात $a_1=2, a_2=1$ ताकि $n$ को कम करता है $n=2^2 3^1 m$।
इसलिये \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[वास्तविक उत्तर हैं $n=48, d=12$। जिसका मतलब अब हमें दिखाना होगा$m=1$उपरोक्त समीकरण में। का हल$\varphi(m)=4$ कर रहे हैं $m\in \{5,8,10,12\}$ लेकिन हम यहां कैसे दिखा सकते हैं $m=1$?]
जवाब
मैंने इस धारणा के बिना बहुत लंबा उत्तर पोस्ट किया कि $d \mid n$, जो उचित संख्या में समाधान स्वीकार करता है। इस बाधा को उजागर करने से हमें एक महत्वपूर्ण संरचना मिलती है, जिसका नाम है$U_d(n)$ इकाइयों के समूह का एक उपसमूह है $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$।
जबसे $U_d(n)$ 4 तत्व हैं, हर तत्व के विभाजन के आदेश हैं $4$। इसलिये$n$ दोनों को बांटना चाहिए $13^4 - 1$ तथा $25^4 - 1$, जिसका gcd 48 है। चूंकि $n \ge 37$, यह बिल्कुल होना चाहिए $48$। हम आसानी से यह निष्कर्ष निकालते हैं$d=12$ एक बार हम जानते हैं $n$।
पहले हम छोटे मूल्यों के नियम बनाने की कोशिश करेंगे $d$। वे प्रत्येक दो श्रेणियों में से एक में आते हैं$d \mid 4$ तथा $d \mid 6$ (इन दो मामलों के दो प्रमुख कारकों के अनुरूप हैं $12$)।
मान लीजिए $d \mid 4$: तो तथ्य यह है कि $U_d(n)$ शामिल नहीं है $5$ होना चाहिए क्योंकि $n$ द्वारा विभाज्य है $5$, लेकिन फिर यह विरोधाभास $25 \in U_d(n)$।
मान लीजिए $d \mid 6$: तो तथ्य यह है कि $U_d(n)$ शामिल नहीं है $7, 19, 31$ होना चाहिए क्योंकि $n$उन सभी अपराधों द्वारा विभाज्य है। परन्तु फिर$n > 169 = 13^2$, ताकि बचने के लिए $U_d(n)$ युक्त $169$ ज़रुरत है $n$ से विभाज्य होना $13$, विरोधाभास $13 \in U_d(n)$।
अब हम निश्चिन्त हैं $d=12$, के कई वैध विकल्प हैं $n$, और कुछ मात्रा में मामले की जाँच अपरिहार्य है। सबसे पहले, रेंज में$37 \le n < 49$, के सभी मूल्यों $n$ बहिष्कृत प्राइमरी द्वारा उन विभाज्य को छोड़कर काम करना चाहिए $5,13,37$।
एक बार जब हम मूल्यों की जांच करते हैं $n \ge 49$, हमें केवल विचार करने की आवश्यकता है $7 \mid n$। तक$n < 61$, यह भी केवल बाहर करने के लिए पर्याप्त है $12k+1$ संख्या $49$ यह परेशानी का कारण बनता है।
उपरांत $n \ge 61$, ज़रुरत है $7 \cdot 61 \mid n$। लेकिन यह बल$n \ge 169$, और जैसा कि ऊपर हम जानते हैं कि यह असंभव है क्योंकि $13 \in U_d(n)$।
इस तर्क के दोनों हिस्सों में सामान्य सिद्धांत (अलग-थलग) $d$ और फिर $n$) यह है कि गैर-प्रतिरूपता के कारण बहिष्करण के लिए बड़े और बड़े निचले सीमाओं की उपज होती है $n$, और अंततः बल $[1,n]$ केवल उन संख्याओं की रचना करना जिनमें हम कुछ के बारे में जानते हैं।