फ्रिक्वेंसी डोमेन में सजा का IDTFT
मैंने सब कुछ आजमाया है। यदि आप वास्तव में जानते हैं कि इसे कैसे हल किया जाए तो आप संकेत दे सकते हैं?
$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$
आदर्श रूप से मैं हर "भिन्न" के फूरियर को अलग से खोजना चाहूंगा और फिर गुणों का उपयोग करूंगा: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ इसलिए मुझे कोई आपत्ति नहीं है $$ e^{-2j\Omega}$$ लेकिन मुझे 2 समस्याएं हैं:
- मैं उपयोग नहीं कर सकता $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ के लिये $(n+1/2) = 10/2$ इसलिये $n \in Z$
- DTFT में, मेरी पुस्तक में कन्वेंशन को बदलने के लिए निरंतर समय की तरह कोई संपत्ति नहीं है $\Omega$ समय डोमेन में गुणा करने के लिए डोमेन इसलिए मुझे नहीं पता कि यहाँ क्या है।
अद्यतन:
कुछ टिप्पणियों और जवाब देने वाले लोगों की मदद के बाद: मैं इसे जच के रूप में करने की कोशिश करने जा रहा हूं$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$
मुझे संपत्ति का लाभ लेना है: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
परिणाम है :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( मुझे लगता है)
तथा $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ के लिये $n \in [0,9]$और 0 कहीं और।
अब हमें उन 2 के दृढ़ीकरण की गणना करने की आवश्यकता है:
परिणाम गैर - शून्य होना चाहिए जब केवल$n \in [0,9]$ तोह फिर:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$
जवाब
यह मुझे लगता है कि यह अभ्यास DTFT के मूल गुणों (यहां एकत्रित: DTFT गुण की तालिका ) को संयोजित करने के लिए है । मैट ने उत्पाद / सजा संपत्ति का वर्णन किया। आपको समय-शिफ्ट / जटिल मॉड्यूलेशन भी मिलता है। मुझे संदेह है (मुझे लगता है कि मैंने गणना नहीं की है) कि कारक के साथ मुद्दा$10$ परिवर्तनशील परिवर्तन से निपटा जा सकता है: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$, और टाइम-स्केलिंग (विस्तार) संपत्ति का उपयोग ( असतत समय अनुक्रम और DTFT के समय स्केलिंग देखें ):
$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$
अन्य संकेत डिरिचलेट कर्नेल के आसपास काज :
$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$
उन्हें asinc या psinc ( aliased या आवधिक कार्डिनल साइन या sinc) भी कहा जाता है , और परिमित-समर्थन असतत खिड़कियों से संबंधित है। अगर$*$ कन्वर्सेशन साइन है, रिज़ॉल्यूशन फूरियर के उत्पाद / कन्वेक्शन गुण का उपयोग कर सकता है।
और अधिक आम तौर पर ( Dirichlet गुठली पर पृष्ठ के नीचे ), आपकी पहचान है:
$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$
जो एक असतत समय खिड़की के DTFT से संबंधित है $w_{[0,N-1]}$ (सूचकांक से $n=0$ सेवा मेरे $n=N-1$) एक चरण सुधार शब्द के साथ साइन की अनुपात। आप विंडो फ़ंक्शन के डिस्क्रीट-टाइम फूरियर ट्रांसफॉर्म में विवरण देख सकते हैं ।
इसके अलावा असतत समय में हमारे पास एक डोमेन में गुणन और दूसरे डोमेन में कनवल्शन के बीच पत्राचार है:
$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$
जहां आवृत्ति डोमेन में दृढ़ संकल्प द्वारा परिभाषित किया गया है
$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$
DTFT
$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$
एक बहुत ही सरल समय डोमेन अनुक्रम से मेल खाती है। मुझे यकीन है कि आप इसे यहाँ से ले जा सकते हैं।