प्रमाण कि यदि दो अभिसरण क्रमों के पदों का अंतर शून्य है, तो अनुक्रमों की सीमा बराबर होती है
प्रस्ताव: वास्तविक अनुक्रम को देखते हुए $\{a_n\}$ तथा $\{b_n\}$ अभिसारी हैं, और वह $\{a_n - b_n \}$ एक शून्य अनुक्रम है, फिर $\lim_{n \to\infty} a_n = \lim_{n \to\infty} b_n$
यह मेरा प्रयास था:
अस्वीकार करें $\lim_{n \to\infty} a_n = l$ तथा $\lim_{n \to\infty} b_n = m$। मान लीजिए$m \neq n$। मान लीजिए$\epsilon = \frac{l-m}{2}$। के अभिसरण द्वारा$\{a_n\}$ तथा $\{b_n\}$, और पर्याप्त रूप से बड़े के लिए एप्सिलॉन के निर्दिष्ट मूल्य का उपयोग करना $n$ हमारे पास वह है $\frac{l+m}{2} < a_n < \frac{3l-m}{2}$, तथा $\frac{3m-l}{2} < b_n < \frac{m+l}{2}$। इससे हमारे पास है
$$0<a_n - b_n < 4\bigg(\frac{l-m}{2}\bigg)$$ $$\rightarrow 0 < a_n - b_n < 4\epsilon$$
लेकिन के घनत्व से $\mathbb{R}$, कुछ मौजूद है $r \in \mathbb{R}$ ऐसा है कि $a_n - b_n > r$ पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $n$। लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि$\{a_n - b_n\}$ एक अशक्त अनुक्रम है, इसलिए $l=m$ $$\tag*{$\ blacksquare$}$$
मुझे यह देखने में दिलचस्पी है कि क्या कोई सबूत है (और उम्मीद है कि मेरा सत्यापन सही है!) जो अनुमान लगाने से विरोधाभास पर भरोसा नहीं करता है $l \neq m$। यह निराशा उन ustr स्पष्ट ’कथनों में से एक की तरह प्रतीत होती है, जब मैं प्रथम क्रम तर्क में लिखता हूं तो मैं साबित करने के लिए संघर्ष करता हूं। विशेष रूप से मैं इसे सीधे तौर पर करने का तरीका नहीं समझ सकता।
जवाब
विरोधाभास का सबूत वास्तव में यहाँ सबसे प्राकृतिक दृष्टिकोण है। अंतर्ज्ञान सरल है: यदि दृश्यों की अलग-अलग सीमाएं हैं, तो उन्हें अंततः उन सीमाओं के करीब होना होगा और इसलिए एक-दूसरे के करीब नहीं हो सकते।
यह थोड़ा और अधिक आसानी से किया जा सकता है, हालांकि। चलो$\epsilon=\frac13|\ell-m|$। वहां एक$n_0\in\Bbb N$ ऐसा है कि $|a_n-\ell|<\epsilon$ तथा $|b_n-m|<\epsilon$ जब कभी $n\ge n_0$। परन्तु फिर
$$|\ell-m|\le|\ell-a_n|+|a_n-b_n|+|b_n-m|<|a_n-b_n|+2\epsilon\,,$$
सबके लिए $n\ge n_0$, तोह फिर
$$|a_n-b_n|>|\ell-m|-2\epsilon=\epsilon$$
सबके लिए $n\ge n_0$, धारणा है कि विरोधाभास $\langle a_n-b_n:n\in\Bbb N\rangle$ एक शून्य अनुक्रम है।
आपके तर्क में कुछ समस्याएं हैं। पहले, आप ऐसा मान रहे हैं$\ell>m$; यदि आप यह धारणा बनाते हैं, तो सामान्यता का कोई वास्तविक नुकसान नहीं है, लेकिन आपको कम से कम यह कहने की आवश्यकता है कि आप इसे बना रहे हैं। आप भी स्पष्ट रूप से अंत में मान रहे हैं कि$a_n-b_n$सकारात्मक है, जिसकी आवश्यकता नहीं है। अंत में, और सबसे महत्वपूर्ण, आपने वास्तव में इस दावे के लिए कोई औचित्य नहीं दिया है कि कोई वास्तविक है$r$ ऐसा है कि $a_n-b_n>r$ पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $n$: यह वास्तव में के लिए सच है $|a_n-b_n|$ और कुछ सकारात्मक $r$, लेकिन इसका घनत्व से कोई लेना-देना नहीं है $\Bbb R$।