प्राथमिक विभेदक समीकरण, बॉयस, खंड 2.2, व्यायाम 19 (वियोज्य समीकरण)
प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने के लिए व्यायाम है:
$$\sin{(2x)}\mathrm dx+\cos(3y)\mathrm dy = 0$$ $$y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$$
हमें मिला $\cfrac{-\cos{(2x)}}{2}+\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=K$, और यहां ये $y\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi3$ हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $$\cfrac{-\cos{(\pi)}}{2}+\cfrac{\sin{(\pi)}}{3}=K \Rightarrow K = \cfrac{1}{2}\text.$$ फिर: $$\cfrac{\sin{(3y)}}{3}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{\cos{(2x)}}{2}=\cos^2{x} \implies \sin{(3y)}=3\cos^2{x}$$।
समाधान क्यों है? $y=\cfrac{\pi-\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$ और बस नहीं $y=\cfrac{\arcsin{\left(3\cos^2{x}\right)}}{3}$? मैं क्या गलत कर रहा हूं?
मैं किसी भी मदद का शुक्रिया अदा करूंगा।
जवाब
$\sin(3y)=3\cos^2(x) \Rightarrow y= \dfrac{ \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$
जब आप ऐसा करते हैं, तो आप ऐसा मान रहे हैं $\sin(3y)$ के पड़ोस में उलटा है $\frac{ \pi}{2}$। लेकिन हर खुली गेंद में केंद्रित$\frac{ \pi}{2}$ मौजूद अंक $a< \frac{ \pi}{2}< b$ ऐसा है कि $\sin(3y(a))=\sin(3y(b))$ में वर्ग के कारण $cos(x)$। इसलिए आपको अपने समाधान का डोमेन चुनते समय सावधान रहना होगा।
समाधान $y= \dfrac{ \pi - \text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ कब मान्य है $x \in [0, \dfrac{ \pi}{2} ]$ जबकि $y= \dfrac{\text{arcsin}(3\cos^2(x))}{3}$ कब मान्य है $x \in [\dfrac{ \pi}{2}, \pi ]$।