प्रूफ़्ड नेबर्सहुड ऑन ए मैनफोल्ड
एक चिकनी कई गुना को देखते हुए, एक खुले सेट के लिए यह साबित करें $U\subset M$ हम हमेशा एक बंद सेट पा सकते हैं $\bar{B}\subset U$ ऐसा है कि $B$ कुछ बिंदु का पड़ोस है $p\in U$।
मेरा प्रयास: के बाद से $M$ नियमित गेंदों का आधार है, वहाँ मौजूद है $B\subset U$ जो नियमित गेंद है, इसलिए दूसरा मौजूद है $B'$ ऐसा है कि $\bar{B}\subset B'$। लेकिन यह कैसे दिखाया जाए, इसमें निहित है$U$?
जवाब
चुनें $p\in U$ और एक समन्वय गेंद चुनें $V\ni p$ साथ से $V\subseteq U$। हम इस गेंद का चयन कर सकते हैं ताकि एक अलग प्रकार का जीव हो$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.तब, सेट $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, और फिर ध्यान दें $\overline{W}\subseteq U$ और कि $W$ का एक पड़ोस है $p$।
नोट: की पहली पसंद $V$ संभव है क्योंकि खुले सेटों के समन्वय द्वारा एक आधार है।