पुनरावर्ती गणना योग्य सेट के लिए एक कवरेज बनाते हैं $\mathbb{N}$? यदि हाँ, तो कौन सी अतिरिक्त संतृप्ति की स्थिति संतुष्ट करती है?
पुनरावर्ती असंख्य सेट के सबसेट का एक संग्रह है $\mathbb{N}$, जिसकी परिभाषा सर्वविदित है और यहाँ विकिपीडिया पर पाई जा सकती है । कल, मैं "सामान्यीकृत टोपोलॉजिकल स्पेस" की परिभाषा पर ठोकर खाई, यहां (परिभाषा 2.2.1) (इसलिए जीटीएस के रूप में संदर्भित)। परिभाषा व्यापक है, और मैं पाठक से लिंक की जांच करने के लिए कहता हूं, लेकिन प्रश्न पाठ के लिए; एक ट्रिपल$(X, Op_X, Cov_X)$एक सेट के साथ $X$, खुले सेट का एक संग्रह $Op_X\in 2^X$, और स्वीकार्य कवरिंग $Cov_X\in 2^{2^X}$ (यह पिछले एक सेट जीटीएस को नियमित टोपोलॉजी से अलग करता है; यूनियनों को मनमाना नहीं है, बल्कि इसके लिए प्रतिबंधित है $Cov_X$) एक GTS बनाता है यदि ट्रिपल कुछ शर्तों को पूरा करता है, तो A1 से A8।
हम ट्रिपल अगर जाँच कर सकते हैं $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ ऐसे स्थान बनाता है (जहां) $RE$ पुनरावर्ती गणनीय सेट का संग्रह है, और $Cov_{RE}$ संग्रह का संग्रह है $C$ का $RE$ ऐसे तत्व $C$अपने आप में पुनरावृत्ति करने योग्य है [1])। यह पता चला है कि यह नहीं करता है: ए 7 और ए 8 (संतृप्ति [2] और नियमितता स्वयंसिद्ध) स्थितियां इस ट्रिपल के लिए विफल हैं।
यहां अगले चरण पर विचार करना है कि क्या होता है अगर हम बस जीटीएस को और सामान्य करने के लिए, या दूसरे शब्दों में, असफल स्थितियों को अनदेखा करते हैं। वही पाठ जो जीटीएस की परिभाषा प्रस्तुत करता है, यह बताता है कि परिभाषा ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी से संबंधित है, लेकिन यहां हमने एक रोड़ा मारा; जबकि जीटीएस की परिभाषा को सादे सेट-सैद्धांतिक भाषा के साथ समझाया गया था, ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है, जहां तक मैं बता सकता हूं, एक अवधारणा, श्रेणी सिद्धांत में गहराई से निहित है, जिसकी भाषा मैं अभी भी समझ से दूर हूं। फिर भी, कोई नेकताब को नेविगेट कर सकता है और साइट की परिभाषा तक पहुंच सकता है, यहां , जो कि एक श्रेणी है जिसमें एक कवरेज है, यहां कुछ परिभाषित किया गया है । मेरी समझ यह है कि इस संदर्भ में कवरेज सबसे सामान्य परिभाषा है, और यह है कि एक कवरेज पर अतिरिक्त शर्तों को लगाकर Grothendieck (पूर्व) टोपोलॉजी प्राप्त करता है (मुझे यकीन नहीं है कि वास्तव में GTS इन सब में कहां फिट बैठता है, लेकिन मेरा मानना है कि साइटें वास्तव में हैं जीटीएस का एक सामान्यीकरण)।
वास्तविक सवाल जो मैं यहाँ पूछता हूँ, वह कई भागों में टूटता है:
- क्या मैं एक साइट के बारे में सही हूँ? यही है, अगर हम साइट (और कवरेज की परिभाषा) को "डी-वर्गीकृत" करते हैं, तो क्या हम कम स्थितियों को छोड़कर, जीटीएस की परिभाषा जैसी किसी चीज के साथ खत्म होते हैं?
- यदि हां, तो ट्रिपल करता है $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$एक साइट बनाएँ? वह है, है$Cov_{RE}$ वास्तव में एक कवरेज के लिए $\mathbb{N}$? उदाहरण के लिए, क्या यह "पुलबैक के तहत स्थिर" है (जो भी इसका मतलब है!)।
- यदि यह सही है, तो अतिरिक्त "संतृप्ति की स्थिति" ( यहाँ देखें ) करता है$Cov_{RE}$संतुष्ट? मुझे लगता है कि, यह उचित Grothendieck टोपोलॉजी होने के लिए पर्याप्त नहीं है, लेकिन शायद प्रॉपटोलॉजी के लिए पर्याप्त है?
[१] - जब यह कहा जाता है कि भाषा का एक छोटा सा दुरुपयोग किया जाता है "$C$ पुनरावृत्ति करने योग्य है "(एक की उम्मीद होगी $C\in RE$ अकेले इस वाक्य से, लेकिन वास्तव में $C\in 2^{RE}$इस विशिष्ट मामले में); इसके साथ असंबद्ध लोगों के लिए, परिभाषित करने का एक समान तरीका$Cov_{RE}$इस प्रकार है। सबसे पहले, ठीक करें$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, आरई ही की गणना योग्य गणन। फिर$Cov_{RE}$ है $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, वह, एक संग्रह है $C$ आरई तत्वों का है $Cov_{RE}$ अगर वहाँ मौजूद है $S\in RE$ ऐसा है कि एक नक्शा कर सकते हैं $\phi$ ऊपर $S$ और प्राप्त करें $C$ जैसा कि परिणाम है।
[२] - ध्यान दें कि यहां "संतृप्ति स्वयंसिद्ध" जीटीएस के लिए एक विशिष्ट है, प्रश्न में आगे श्रेणी-सिद्धांत संबंधी परिभाषाओं की अपनी, कई, संतृप्ति की स्थिति है।
जवाब
हमें लगता है कि हम एक मनमाने ढंग से आदेश दिया सेट के साथ काम कर रहे हैं $(P, \leq)$। टोपोलॉजिकल स्पेस के विशेष मामले में,$P$ के सबसेट का कुछ संग्रह है $X$अंतर्निहित स्थान। हम विचार कर सकते हैं$P$ निम्नानुसार एक विहित तरीके से एक श्रेणी के रूप में: वस्तुओं का सेट है $P$, प्रत्येक के बीच सबसे अधिक एक तीर है $x, y \in P$, और के बीच एक तीर है $x$ तथा $y$ अगर $x \leq y$।
किसी वस्तु पर छलनी $x$ एक संग्रह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ जो संपत्ति को संतुष्ट करता है कि हर के लिए $(f, z) \in S$ और हर $g : w \to z$, अपने पास $(f \circ g, w) \in S$।
जब हम आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के बारे में बात कर रहे हैं, का पहला घटक $(f, z)$ कहां है $f : z \to x$ किसी भी जानकारी (तथ्य के अलावा) को नहीं जोड़ता है $z \leq x$) के बाद से सबसे अधिक है $f : z \to x$। इस प्रकार, हम समकक्ष रूप से एक चलनी पर विचार कर सकते हैं$S$ पर $x$ एक संग्रह होने के लिए $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ सभी के लिए सेंट $z \in S$, सबके लिए $w \leq z$, $w \in S$। इसे मैं PO-sieve कहूंगा।
एक छलनी दी $S$ पर $y$ और एक तीर $f : x \to y$, हम परिभाषित कर सकते हैं $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ तथा $f \circ g \in S\}$, एक छलनी पर $y$।
इसके बाद, PO-sieve दिया गया $S$ पर $y$ और कुछ $x \leq y$, हम परिभाषित कर सकते हैं $S_x = \{z : z \leq x$ तथा $z \in S\}$, एक छलनी पर $x$।
एक श्रेणी पर एक ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी $C$ प्रत्येक वस्तु से एक मानचित्रण है $x \in C$ एक परिवार के लिए $F_x$ पर $x$ जो कई स्वयंसिद्ध शब्दों को संतुष्ट करता है।
इसके विपरीत, एक स्थिति पर PO-Grothendieck टोपोलॉजी $P$ प्रत्येक तत्व से एक मानचित्रण होना चाहिए $x \in P$ एक परिवार के लिए $F_x$ PO-sieves जो संबंधित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का एक्सिओम 1: हर के लिए $x \in C$, अपने पास $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$।
PO-Grothendieck टोपोलॉजी के Axiom 1 के अनुरूप: हर के लिए $x \in P$, अपने पास $\{z : z \leq x\} \in F_x$।
ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के एक्सिओम 2: हर के लिए $f : x \to y$, हर छलनी के लिए $S \in F_y$, अपने पास $f^*(S) \in F_x$।
PO-Grothendieck टोपोलॉजी के Axiom 2 के अनुरूप: हर के लिए $x \leq y$ और हर पीओ-छलनी के लिए $S \in F_y$, अपने पास $S_x \in F_x$।
ग्रोथेंडेक टोपोलॉजी के एक्सिओम 3: मान लीजिए कि हमारे पास है $S \in F_x$। और मान लीजिए हमारे पास एक छलनी है$P$ पर $x$ ऐसे सभी के लिए $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$। फिर$P \in F_x$।
PO-Grothendieck टोपोलॉजी के Axiom 3 के अनुरूप: मान लीजिए कि हमारे पास है $S \in F_x$। और मान लीजिए कि हमारे पास पीओ-छलनी है$P$ पर $x$ सभी के लिए सेंट $z \in S$, $P_z \in F_z$। फिर$P \in F_x$।
यह सामान्यीकृत टोपोलॉजिकल स्पेस से कैसे संबंधित है? मान लीजिए कि इस तरह का एक सामान्यीकृत स्थान दिया गया है। आंशिक रूप से आदेशित सेट$P$ द्वारा खोले गए सेट का सेट है $\subseteq$। मान लीजिए कि कुछ संग्रह दिया गया है$C$खुले सेटों की। परिभाषित करें$f(C) = \{U $ खुला हुआ$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$। ध्यान दें कि इस तरह के हर के लिए$C$, $f(C)$PO-sieve है। फिर दिया$U$ खुला, हम परिभाषित कर सकते हैं $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ तथा $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$।
हमें सत्यापित करें कि यह हमें PO-Grothendieck टोपोलॉजी देता है।
स्वयंसिद्ध 1: यह इस तथ्य से है कि $\{U\} \in cov_X$ सबके लिए $U$ - अर्थात्, यह स्वयंसिद्ध A3 से निम्नानुसार है।
स्वयंसिद्ध 2: यह स्वयंसिद्ध A5 से आता है।
Axiom 3: यह स्वयंसिद्ध A6 से आता है।
अंत में, हम आपके उदाहरण की ओर मुड़ते हैं $\mathbb{N}$"खुलने" के साथ पुनरावर्ती असंख्य सेट और "कवरिंग" पुनरावर्ती गणनीय सेट के पुनरावर्ती संस्मरण। चूंकि यह स्वयंसिद्ध A3, A5 और A6 को संतुष्ट करता है, इसलिए यह PO-Grothendieck टोपोलॉजी का निर्माण करता है।