रैखिक परिवर्तन के लिए एक सूत्र खोजें [बंद]

Question

एक रेखीय परिवर्तन सूत्र का एक उदाहरण खोजें $\varphi$ ताकि:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

ऐसी समस्या से कैसे संपर्क करें? सराहना करने के लिए सबसे मानक तरीका है।

Answer 1

$\varphi$ एक रैखिक परिवर्तन है $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, इसलिए मैट्रिक्स $A$ प्रतिनिधित्व कर रहा है $\varphi$ (मानक आधार के संबंध में) है $3$ द्वारा द्वारा $4$। अब अगर$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ तब के कर्नेल में सब कुछ $A$ के लिए रूढ़िवादी है $(1,-1,6,2)$, तो चलो सेट करें $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$हम अभी तक नहीं किए गए हैं, क्योंकि हमने शेष प्रविष्टियों को निर्दिष्ट नहीं किया है। लेकिन यह मुश्किल नहीं है, क्योंकि हम जानते हैं$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ जिसका तात्पर्य यह है कि सभी कॉलम वैक्टर के स्केलर गुणक हैं $(2,3,1)$। इसलिए उदाहरण के लिए, पहला कॉलम सिर्फ है$1/2$ समय $(2,3,1)$, जो देता है $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ इस तर्क को जारी रखते हुए, हम पिछले तीन कॉलमों को समान रूप से भर सकते हैं, हमें दे सकते हैं $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ अब हम कर चुके हैं।

Answer 2

उसका अवलोकन करो $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ फार्म के सभी वैक्टर का सेट है $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ कहां है $y,z$ तथा $t$सभी वास्तविक संख्याओं पर चलता है। तो, एक रैखिक नक्शा चुनें$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ ऐसा है कि $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ तथा $\varphi(v) = (2,3,1)$ कुछ के लिए $v \in \mathbb R^4$ जो की अवधि में नहीं है $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

Answer 3

निम्नलिखित मैट्रिक्स ऐसे एक का वर्णन करता है: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$।