सबसे बड़ा पूर्णांक से कम या इसके बराबर $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$
यह TIFR 2020 का पीएचडी प्रवेश प्रश्न है। इस प्रश्न के लिए स्पष्ट उत्तर की आवश्यकता है। मुझे पता है कि नंबर थ्योरी में हाबिल के फार्मूले का उपयोग करके आंशिक रकम का मूल्यांकन किया जाता है लेकिन मेरा मानना है कि इस फॉर्म की श्रृंखला के लिए बेहतर तरीके हो सकते हैं। क्या कोई अपने विचार साझा कर सकता है?
जवाब
उचित निश्चित अभिन्न के साथ राशि की तुलना करें:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$
इसके अलावा:
$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$
तो, योग के बीच है $1332$ तथा $1333$ और इसलिए इसका अभिन्न अंग है $1332$।
संकेत: फ़ंक्शन पर विचार करें$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ और इसका मतलब निकालने के लिए मीन वैल्यू प्रमेय का उपयोग करें $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}$}$$ अब आप इस तथ्य का योग और उपयोग कर सकते हैं कि लगभग सब कुछ टेलीस्कोप होगा।
बदबूदार बिशप जवाब पर विचार करने का एक और तरीका है। यह एक व्युत्पन्न उत्तर है और स्टिंकिंग बिशप के समान है। मैं सिर्फ स्क्विंट कर रहा हूं और इसे एक अलग कोण से देख रहा हूं।
$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$
$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$
$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$
अभी $\int_a^b C dx = C[b-a]$ इसलिए $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ तथा $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ इसलिए
$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
जैसा की लिखा गया हैं $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$
लेकिन यह भी ध्यान दें
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ के रूप में reindexed किया जा सकता है $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ जो के बराबर है $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$।
तो हमारे पास
$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$
और यह आसानी से सत्यापित हो जाता है कि यदि $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ फिर $M< n+1 \le M+1$ इसलिए $n\le M< n+1$ इसलिए $\lfloor M\rfloor=n$।
इसलिए $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$।